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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small juin 1983}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On donne

\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=& -2x^3 + 8x\\
B(x)&=&\left(x^2 - x\right)(x - 2)- 2(- x + 1)(x -2).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $B(x)$.
		\item Calculer $A\left(\sqrt 5 \right)$.
		
Donner le meilleur encadrement de $A\left(\sqrt 5 \right)$ possible sachant que $2,236$ est une valeur approchée de $\sqrt 5$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\item Factoriser $A(x)$ et $B(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $A(x) = 0$.
\item On donne la fonction $F$ telle que

\[F(x) = \dfrac{-2x\left(x^2 - 4\right)}{(x - 2)(x - 1)(x + 2)}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition de $F$.
		\item Simplifier $F(x)$.
		\item Calculer $F(0),\: F\left(\sqrt 3\right)$ (donner le résultat avec
un dénominateur entier).
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement l'application $f$ définie, dans $\R$, par

\[f(x) = |2x| + |1 - x|,\]

dans le plan rapporté à un repère \Oij{}orthonormé.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit un plan $(\mathcal{P})$ muni d'un repère \Oij.

On considère les points A, B, C définis par

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 7\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = 5\vect{\imath} + 7\vect{\jmath}$\quad et \quad $\vect{\text{OC}} = - \vect{\imath} + 5\vect{\jmath}$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point D, tel que ABCD soit un parallélogramme.
\item Calculer les coordonnées du point E, tel que

\[\vect{\text{CB}} + \vect{\text{CD}} + \vect{\text{CE}} = \vect{0}.\]

Démontrer que C est le milieu de [AE].
\item Soit F le symétrique de A par rapport à B.

Calculer les coordonnées de F.

Démontrer que (EF) est parallèle à (BC).
\item Trouver une équation de la droite (BD).

Soit $(\Delta)$ la parallèle menée par C à (BD).

Trouver une équation de la droite $(\Delta)$.

Démontrer que F appartient à $(\Delta)$.
\item On désigne par A$'$ et B$'$ les milieux respectifs de [BC] et [AC].

Calculer les coordonnées du point G, point d'intersection des droites (AA$'$) et (BB$'$).
\end{enumerate}
\end{document}