\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Montpellier juin 1951},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\DeclareSymbolFontAlphabet{\mathcal}{symbols}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{juin 1951}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier juin 1951~\decofourright}}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Dans un carré ABCD de $4$~cm de côté, on joint le sommet A à un point M du côté [BC] et l'on désigne par $x$ la mesure, en centimètres, du segment [BM].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $x$ l'aire du triangle ABM et celle du trapèze ADCM.

On désignera par $S$ la première et par $Y$ la seconde.
\item Déterminer $x$ pour que ces deux aires soient égales.
\item Déterminer $x$ pour que l'aire du trapèze soit les
$\dfrac53$ de celle du triangle.
\item $S$ et $Y$ ayant les significations indiquées dans la première question, étudier les variations des deux fonctions suivantes de $x$ : $Y$ et $Z = \dfrac53S$ quand le point M décrit le côté [BC].

Représenter les variations des fonctions $Y$ et $Z$ sur le même graphique, puis utiliser ce graphique pour retrouver le résultat de la troisième question.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit un trapèze ABCD. On prolonge la grande base [AB] d'une longueur BE égale à celle de la petite base.

Étudier la figure BECD.
\item Construire un trapèze isocèle dont la grande base [AB] mesure $100$~mm, la petite base
[CD] $42$~mm et la diagonale [BD] $90$~mm.


3° Calculer la longueur de la hauteur [CH] à 0,1~mm près puis la longueur des côtés [AD] et [BC] à 0,1~mm près.
\end{enumerate}
\end{document}