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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{juin 1952}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier juin  1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip


%\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer 
\[\left(x^2 + 3\right)(x + 1).\]

\item Simplifier les fractions 

\begin{center} $A= \dfrac{(3x - 3)(x + 2)}{3x+3}$ \qquad et $B = \dfrac{- 3(x + 2)\left(x^2 + 3\right)}{x^3 + x^2 + 3x + 3}$.\end{center}


\item Résoudre l'équation $A + B = 0$.
\item Étudier les variations de la fonction $y = \dfrac AB$ et les
représenter graphiquement.

Déterminer par l'étude du graphique la valeur de $x$ pour laquelle $y = - 2$ et vérifier algébriquement.


\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Nota :} Dans les deux dernières questions les fractions $A$ et $B$ seront remplacées par leurs expressions simplifiées trouvées au 2.

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle isocèle ABC (AB = AC $= 4$~cm) inscrit dans un cercle de centre O et de rayon égal à $2,5$ cm.

On prend un point M variable sur l'arc $\widearc{\text{BC}}$ du cercle qui ne contient pas le point A.

On joint A et M et du sommet C on mène la perpendiculaire [CH] à (AM).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver le lieu géométrique du point H lorsque M décrit l'arc $\widearc{\text{BC}}$.

Quelles sont les limites de ce lieu ?
\item (AM) coupe (BC) en E.

Comparer les triangles AMC et ACE.

Quelle relation existe-t-il entre les longueurs AC, AE, AM ?
\item Calculer la longueur de la hauteur [AK] et celle du  côté [BC], ainsi que l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}
\end{document}