\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P{}.C.},
pdftitle = {juin 1971},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Montpellier juin 1971~\decofourright}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\bigskip

On donne le polynôme :

\[P(x) = (3x- 1)^2 - 9x^2 + 1- (x - 5)(3x- 1).\]

\begin{enumerate}
\item Effectuer les calculs et donner le résultat sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné par rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item Transformer $P(x)$ en un produit de facteurs du premier degré.
\item Donner le domaine de définitions $D$ dans $\R$ de la fraction:

\[F(x) = \dfrac{P(x)}{(x + 4)(3 - x)}.\]

Simplifier cette fraction. On obtient $F'(x)$.
\item Calculer $x$ pour que $F'(x) = 1$.
\item Dans un repère orthonormé de vecteur unitaire le cm, construire les graphiques des fonctions :

\[y_1 = 3x - 1\qquad y_2 = x + 4.\]

Peut-on retrouver sur le graphique la solution de la  question.

Expliquer.
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\bigskip

Dans un triangle quelconque ABC, on désigne par H l'orthocentre, par O le centre du cercle circonscrit, par G le point de concours des médianes, par A$'$ le milieu du côté [BC] et B$'$ le milieu du côté [AC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles ABH et A$'$B$'$O.

En déduire que AH $= 2\text{OA}'$.
\item Comparer les triangles AHG et A$'$OG.
\item Montrer que les points H, G, O sont alignés.

\item Déterminer la valeur numérique du rapport $\dfrac{\text{GH}}{\text{GO}}$.
\end{enumerate}
\end{document}