\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Montpellier juin 1972},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{juin 1972}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier juin 1972~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne les expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (2x + 1)(x - 1)+(2x + 1)(x - 2)\:\:\text{et}\\
B(x)&=&(3 - x) + 6x - 2x^2. 
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser ces expressions.
		\item Quel est l'ensemble de définition de la fraction rationnelle $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ ?
		
Simplifier cette fraction rationnelle.

On appellera $E(x)$ la fraction simplifiée ainsi obtenue.

Quel est l'ensemble de définition de l'expression $E(x)$ ?
	\end{enumerate}
\item Calculer $E(x)$ pour $x = \sqrt 5 - 1$ (le résultat ne devra comporter que des nombres rationnels au dénominateur).
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $E(x) = 1$ ? 

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A(x) = B(x)$ ?

Comparer les résultats obtenus et expliquer.
\item Soit $f_1$ et $f_2$ les fonctions définies par 
\begin{center}$y_1 = f_1(x) = 2x - 3$\qquad  et \qquad $y_2 = f_2(x) = - x + 3$.\end{center}

Construire les droites représentatives de ces fonctions, le plan étant rapporté à un repère, qui pourra être orthonormé.
\item Quelles sont les coordonnées du point commun à ces droites ?

Comparer l'abscisse de ce point au premier résultat de la question 3. 
(valeur de $x$ pour que $E(x) = 1$).

Expliquer.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle (ABC) dont les côtés mesurent, en centimètres,AB $= 6$, AC $= 8$ et BC$ = 10$.

Le cercle de diamètre [AC] et de centre O coupe (BC) en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (BA) est tangente en A à ce cercle.
\item Calculer les longueurs des segments [AH] et [BH].
\item Par un point D de (AC), pris entre A et C, tel que CD $= 2~$cm, on mène la perpendiculaire à (AC) qui coupe (HC) en E et le prolongement de [AH] en F.

Comparer les triangles (EDC) et (ADF).

En déduire que l'on a 
\begin{center}DA $ \cdot $ DC = DE $ \cdot $ DF.\end{center}
\item Soit K et K$'$ les points de la droite (FD) tels que
\begin{center}DK$^2 =$ DK$'^2 =$ DE $ \cdot $ DF{}.\end{center}

Calculer la mesure du segment [DK] et montrer que K
et K$'$ sont sur le cercle de diamètre [AC].
\item Démontrer que les points H, D, C et F sont sur un même cercle.

Justifier les égalités suivantes:

\begin{center}AD $\cdot$ AC = AH $\cdot$ AF \quad et \quad EH $\cdot$ EC = ED $\cdot$ EF.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}