\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Montpellier septembre 1952},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{septembre 1952}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier septembre 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Deux nombres $m$ et $n$ étant donnés, on forme les trois nombres A, B, C, tels que

\[A = m^2 - n^2,\quad B = 2 mn, \quad B C = m^2 + n^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que 
\[A^2 + B^2 = C^2.\]
\item Déterminer les valeurs positives de $m$ et $n$ pour lesquelles on a à la fois

\[A + B +C = 340,\qquad   A - B + C = 60.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Un carré ABCD a $6$~cm de côté.

Joignez le sommet A au milieu M du côté [DC] et le milieu P du côté [AD] au sommet B.

Vous obtenez deux droites qui se coupent en un point I intérieur au carré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrez que le triangle ABP est égal au triangle DAM et qu'il est semblable au triangle IAP.
\item Dans le triangle IAP{}, quelle est la valeur de l'angle $\widehat{\text{I}}$ ?

Évaluez aussi la longueur des côtés.
\item Le carré est partagé par les droites que vous avez tracées, en deux triangles, AIP et AIB, et deux quadrilatères PIMD et IBCM.

Calculez les aires respectives de ces quatre figures.

\end{enumerate}
\end{document}