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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small septembre 1976}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier septembre 1976 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item $x$ et $y$ désignent deux réels non nuls,
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le quotient $\dfrac xy$ sachant que $21x = 35y$.
		\item Déterminer $x$ et $y$ sachant que, de plus, $x - y = 4$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser les polynômes $p$ et $q$ tels que 
		\begin{center}$p(x) = x^2 - (x - 8)^2$\quad et\quad  $q(x) = 4x^2 - 20x + 25$.\end{center}
		\item On considère les fonctions rationnelles $A$ et $B$ telles que
\begin{center}$A(x) = \dfrac{x^2 - (x - 8)^2}{16}$\quad et \quad 
$B(x)= \dfrac{x^2 - 1}{x + 1} - \dfrac{4x^2 - 20x +25}{5(2x - 5)}$.\end{center}
Écrire les expressions simplifiées de $A(x)$ et de $B(x)$.
		\item Vérifier que $A(10) = B(10)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ et $g$ les applications de $\R$ dans $\R$ telles que
\begin{center}$f(x) = \dfrac35 x$ \quad et \quad $g(x) = x - 4$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner les représentations graphiques $(D)$ et $(D')$ de ces applications dans un plan muni du repère \Oij.
		\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point M intersection de $(D)$ et $(D')$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi les coordonnées du point M sont les solutions trouvées au 1. b.
		\item Expliquer pourquoi les coordonnées du point confirment la vérification du 2. c.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\smallskip

(Les questions 1. et 2. sont indépendantes.)

\medskip

Trois points A, B et C non alignés forment triangle (A, B, C).

Une droite $(\Delta)$ ne passant par aucun des trois sommets coupe la droite (BC) en M, la droite (CA) en N et la droite (AB) en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la projection de direction $(\Delta)$ sur la droite(BC). Lepoint A a pour image K dans cette projection.

Quelles sont les images de B et C ?

Comparer les réels $\dfrac{\overline{\text{PA}}}{\overline{\text{PB}}}$  et $\dfrac{\overline{\text{MK}}}{\overline{\text{MB}}}$ et les réels 
$\dfrac{\overline{\text{NC}}}{\overline{\text{NA}}}$ et $\dfrac{\overline{\text{MC}}}{\overline{\text{MK}}}$.

En déduire que $\dfrac{\overline{\text{PA}}}{\overline{\text{PB}}} \times \dfrac{\overline{\text{MB}}}{\overline{\text{MC}}} \times \dfrac{\overline{\text{NC}}}{\overline{\text{NA}}}= 1$.

b) 

\item Le plan est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{B},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$.

Dans cette question, le point A est tel que $\vect{\text{BA}} = \vect{\imath} + \vect{\jmath}$, le point C est tel que $\vect{\text{BA}} = 4\vect{\imath}$ ; A est le milieu du segment [BP] et M est le milieu du segment [BC].
	\begin{enumerate}
		\item Trouver l'abscisse du point M et celle du point P.
		
Quelle est la direction de la droite (PM) ?
		\item Calculer les quotients $\dfrac{\overline{\text{PA}}}{\overline{\text{PB}}}$, $\dfrac{\overline{\text{MB}}}{\overline{\text{MC}}}$ et $\dfrac{\overline{\text{NC}}}{\overline{\text{NA}}}$.

Vérifier que la relation $\dfrac{\overline{\text{PA}}}{\overline{\text{PB}}} \times \dfrac{\overline{\text{MB}}}{\overline{\text{MC}}} \times \dfrac{\overline{\text{NC}}}{\overline{\text{NA}}}= 1$ est satisfaite.
		\item Calculer la distance CA.
		
Trouver la tangente et le cosinus de l'écart angulaire de l'angle
$\widehat{\text{ACB}}$.

Quel est, un degré près par défaut, cet écart angulaire?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}