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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Montpellier}}

\medskip

{\large \textbf{ARITHMÉTIQUE OU ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Une personne a fait une excursion à bicyclette en allant de son domicile D à la ville V.

Elle est revenue par un raccourci inférieur de 20 km au trajet aller.

Calculer la distance parcourue à l'aller et au retour, sachant que cette personne a roulé pendant 5~h~20~min à la vitesse moyenne de $15$~km à l'heure.

%\medskip

%\begin{enumerate}
%\item 
%\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R = 2$ cm et un point P tel que OP $= 4$ cm.

Par P construire les tangentes au cercle O.

Expliquer la construction.
\item A et B étant les points de tangence, on prolonge [AP] de A vers P d'une longueur 

PC = PA.

La perpendiculaire en C à (AC) coupe la droite (OB) en un point O$'$.
	\begin{enumerate}
		\item Comparer les triangles PBO$'$ et PCO$'$.
		\item Démontrer que O$'$ est le centre d'un cercle tangent à la droite (AP) et tangent au cercle $\mathcal{C}$.
		\item Quelle est la nature du triangle OPO$'$ ?
	\end{enumerate}	
\item Les droites (OO$'$) et (PA) se coupent en S.

Démontrer que les triangles SOA et SO$'$C sont semblables.
\item Évaluer en fonction de OA $= R$, la longueur des segments [PB], [O$'$B], [SO], [SO$'$].
\end{enumerate}
\end{document}