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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{septembre 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{ \textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Montpellier septembre 1960}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}



\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer l'expression 
\[E(x) = (2x + 3)^2- (x - 1)^2\]
en un produit de facteurs du premier degré. 

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $E(x) = 0$ ?
\item Simplifier la fraction

\[y = \dfrac{E(x)}{x^2 - 16}.\]

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $y = 1$ ?
\item Représenter sur le même graphique les fonction 
\begin{center}$y = 3x + 2$\qquad et \qquad $y = x + 4$.\end{center}

Déterminer, sur le graphique, les coordonnées du point d'intersection, M, des deux droites obtenues.

Vérifier le résultat par le calcul.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

Soient ABC un triangle isocèle de base [BC] et O le milieu de la base.

On prend, sur les côtés égaux, deux points, D et E, tels que
\begin{center}OB$^2$ = BD $\times$ CE.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles BDO et ECO sont semblables.

En déduire que l'angle $\widehat{\text{DOE}}$ a une valeur constante.
\item Quels sont les rapports égaux au rapport $\dfrac{\text{OD}}{\text{OE}}$ ?

Les utiliser pour démontrer que le triangle DOE est semblable aux deux précédents.

En déduire que les droites (DO) et (EO) sont les bissectrices des angles $\widehat{\text{BDE}}$ et $\widehat{\text{DEC}}$ et que le point O est à égale distance des côtés égaux du triangle isocèle et de la droite (DE).
\item Montrer que la droite (DE) reste tangente à un cercle fixe.
\end{enumerate}
\end{document}