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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Nancy}
\lfoot{\small février 1960}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy février 1960~\decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit le polynôme 

\[y = (1 - 4x)^2 - \left(\dfrac52 - 3x\right)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les calculs indiqués, réduire et ordonner le polynôme suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Montrer que $y$ peut se mettre sous la forme
\[y = (ax + b) (cx + d),\]
$a,\: b,\: c,\: d$ étant des nombres qu'on déterminera ($a$ et $c$ entiers négatifs).
\item Calculer la valeur numérique de $y$, en choisissant
chaque fois la forme qui paraitra la plus commode pour les valeurs suivantes :
\[x = 0\:;\qquad  x= \dfrac14 \:; \qquad  x = - \dfrac32.\]
\item On désigne par $y_1$ et $y_2$ les facteurs du premier degré en $x$ obtenus dans la question 2.

Représenter graphiquement les fonctions $y_1$ et $y_2$ de la variable $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un segment de droite [AC] tel que AC $= 42$~mm.

Construire le point B intérieur au segment [AC], tel que le rapport de ses distances aux points A et C soit égal à $\dfrac34$.

(Expliquer les constructions faites, qui devront être visibles sur la figure).
\item Calculer BA et BC et vérifier sur la figure.
\item Des points A et C, on mène les demi-droites A$x$
et C$y$ perpendiculaires à (AC), situées du même côté de (AC).

Sur A$x$ on porte le point D tel que AD $= 12$~mm.

La perpendiculaire menée en B à BC coupe C$y$ en E.

Démontrer que les triangles ABD et CEB sont semblables.

Quel est leur rapport de similitude ?

En déduire CE.
\item Prolonger [AC] d'une longueur CH $= 54$~mm.

Comparer les triangles DAB et ECH.

Que peut-on en déduire pour les droites (BD) et (HE) ?
\end{enumerate}
\end{document}