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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P. C.}
\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{juin  1952}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy juin  1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&-3x + 4 \:;\\
y&=&\phantom{-}\dfrac{1}{3}x - 1.
\end{array}\right.\]

Échelle: $2$ cm par unité.

\item Contrôler les résultats en déterminant par le calcul les coordonnées du point H de rencontre des deux droites.
\item La première droite coupe O$y$ en A. La deuxième droite coupe O$x$ et O$y$ en B et C.

Calculer la longueur des côtés du triangle ABC, ainsi que la surface de ce triangle.

Que peut-on dire du triangle ABC ?
\item Montrer par le calcul que H est le milieu de BC.

En déduire que les deux droites du \textbf{1.} sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un cercle, de centre O et de rayon $R$, et deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].

On prend un point M variable sur le quadrant $\widearc{\text{AC}}$ et l'on mène la corde [MP] perpendiculaire à (CD) et la corde [MQ] perpendiculaire à (AB).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les trois points Q, O, P sont alignés.
\item Démontrer que, M se déplaçant sur l'arc $\widearc{\text{AC}}$, la 
somme $\overline{\text{MP}}^2 + \overline{\text{MQ}}^2$ reste constante.
\item Prouver que les bissectrices intérieures des angles
$\widehat{\text{P}}$ et $\widehat{\text{Q}}$ du triangle MPQ passent chacune par un point fixe et forment un angle constant.

En déduire la courbe sur laquelle se déplace le centre du cercle inscrit au triangle MPQ lorsque M décrit l'arc $\widearc{\text{AC}}$.
\end{enumerate}
\end{document}