\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Nancy juin 1960},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nancy juin 1960\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire, sur un même système d'axes de coordonnées $x'x$, et $y'y$ se coupant en~O, les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentant respectivement les variations des fonctions
\begin{center}$y = \dfrac32 x - 2$\qquad  et \qquad $y = - \dfrac x2 + 2$.\end{center}

\item 
Calculer les coordonnées du point d'intersection, P de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\item $\left(D_1\right)$ coupe $y'y$ en A ; $\left(D_2\right)$ coupe $y'y$ en B et $x'x$ en C.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées des points A, B et C ?
		\item Montrer que P est le milieu du côté [BC] du triangle BAC; en déduire que (OP) est parallèle à (AC).
		\item Écrire l'équation de la droite (OP) ; en déduire celle de la droite (AC).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de centre O et de rayon $R$ et deux diamètres perpendiculaires, [AB] et [CD].

Soit M un point quelconque de l'arc intercepté par l'angle au centre $\widehat{\text{BOC}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que [MD) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AMB}}$.
\item On mène (DE) perpendiculaire à la droite (MA) et (DF) perpendiculaire à la droite (MB).

Montrer que le quadrilatère MEDF est un carré et que sa diagonale [EF] passe par~O.
\item Si l'angle $\widehat{\text{CDM}}$ mesure $30\degres$, calculer le côté du carré MEDF en fonction de $R$.
\item On élève en M la perpendiculaire M$x$ au plan du carré MEDF{}. On joint un point quelconque P de M$x$ à l'intersection, I, des diagonales du carré.

Montrer que (PI) est perpendiculaire à la diagonale [EF].
\end{enumerate}

\textbf{N. B. -} La question 4. est indépendante des précédentes.
\end{document}