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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Nancy}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy juin 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

Soient les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& = \dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{x-2}{x} + \dfrac{4(x - 1)^2}{x(x - 2)}\:\text{et}\\
B(x)&=&\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ sont-elles définies ?

Calculer $A(x)$, puis le produit $C(x) = A(x) \cdot B(x)$ et donner la forme
simplifiée, $C'(x)$ de ce produit.
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $C'(x) = \dfrac{1}{x -2}$ ?
\item $C'(x)$ est une fonction de $x$. Construire son graphe,
$\left(D_1\right)$.

Soient les points M$(1~;~- 6)$ et N$(- 1~;~- 2)$.

Tracer sur le même graphique que $\left(D_1\right)$ la droite (MN) et calculer les coordonnées de son point d'intersection avec $\left(D_1\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un angle droit $\widehat{x\text{O}y}$ ; soient O$z$ un demi-droite intérieure à cet angle et O$t$ la symétrique de O$z$ par rapport à O$x$.

Par un point M de O$z$, on trace deux droites : l'une, parallèle à O$t$, coupe O$x$ en A et
O$y$ en B ; l'autre, quelconque, coupe en P{}, Q, N les demi- droites O$x$, O$y$, O$z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que [OM] est médiane du triangle rectangle AOB.
\item En déduire, à l'aide de triangles semblables, l'égalités des rapports

$\dfrac{\text{PM}}{\text{PN}}$ et $\dfrac{\text{QM}}{\text{QN}}$.
\item On suppose maintenant $\widehat{x\text{OM}} = 30\degres$,\:OM $= 4$~cm et (MN) perpendiculaire à O$z$.

Prouver que le triangle NOQ est isocèle.

En déduire la valeur du rapport $\dfrac{\text{PM}}{\text{PN}}$.
\end{enumerate}
\end{document}