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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Nancy}
\lfoot{\small juin 1967}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose
\[y = \dfrac{x(x + 1)(2x + 1)}{6} - \dfrac{x(2x - 2)(2x- 1)}{12}.\]

Simplifier le deuxième membre, puis déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $y = \np{7396}$.
\item Simplifier l'expression
\[z = \dfrac{x^3 + x^2}{x^2 + 5x} - \dfrac{x^3 - 5x^2}{x^3 - 25x}.\]
 Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $z = 0$ ?
\item On pose $Y = - \dfrac{2y}{z}$.

Calculer $Y$ en fonction de $x$.

Étudier la variation de la fonction $Y$ dans le domaine où $z$ est défini ; tracer son graphe, $(L)$.

Déterminer les coordonnées du point A, intersection de $(L)$ et de la droite $(D)$, d'équation $Y = 4x + 5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Le triangle ABC offre les particularités suivantes :

L'angle $\widehat{\text{B}}$ est double de l'angle $\widehat{\text{C}}$ et le pied, D, de la hauteur issue de A est entre B et C.

On appelle E le point situé sur le prolongement de [AB] au-delà de B tel que BE = BD et F l'intersection de (ED) et (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles EBD et DFC sont isocèles et semblables.
\item Démontrer que DF $\times$ DE = DB $\times$ DC.

Que peut-on dire du quadrilatère BECF ?
\item Comparer les triangles AEF et ABC.

Que peut-on dire du triangle ADF ?
\item Calculer les angles, puis les segments de la figure quand elle a la particularité nouvelle : le triangle ADE est isocèle; on donne AB $= a$.
\end{enumerate}
\end{document}
