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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Nancy--Metz}
\lfoot{\small juin 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy--Metz juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip



Soit les deux fonctions affines suivantes :
\[\begin{array}{l l c l}
f: &\R&\to&\R,\\
&x&\longmapsto &f(x) =2x + 3.
\end{array}\quad \text{et} \quad \begin{array}{l l c l}
f: &\R&\to&\R,\\
&x&\longmapsto &g(x) =0,5x + 3.
\end{array}\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(1.3), \: f\left(\dfrac17\right), \:  g(- 2.3)$ et $g\left(\dfrac14 \right).$
\item Résoudre dans $\R$ chacune des équations suivantes 
\begin{center}$f(x) = 0$, \quad  $g(x) = 0$\quad et \quad $f(x) = g(x)$.\end{center}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation 
\[f(x) \geqslant g(x).\]
 
\item Développer le produit $(2 x + 3) (0.5 x + 3)$ et
résoudre dans $\R$ l'équation
\[3[(x) + g(x)] =f(x) \times g(x).\]
\item Représenter graphiquement les fonctions affines $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.

Retrouver graphiquement les réponses aux questions 2. et 3.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij{} placer les points suivants:
\begin{center}A$(-2~;~7)$,\quad B$(-5~;~-2)$, \quad C$(7~;~-2)$\quad et \quad D(1~;4).~\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$ les vecteurs 
$\vect{\text{AD}}$, \: $\vect{\text{DC}}$ et $\vect{\text{DB}}$.
\item En déduire que
	\begin{enumerate}
		\item les points A, D et C sont alignés.
		\item le triangle (A, B, D) est rectangle. et en quel
point ?
	\end{enumerate}
\item Soit $(\mathcal{C})$ le cercle circonscrit au triangle (A, B, D).

Déterminer les coordonnées de son centre I et de son rayon $r$.
\item Soit le point E tel que $\vect{\text{OE}} = - 2\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}$.

Démontrer que le point E appartient au cercle $(\mathcal{C})$.
\item Soit H le point d'intersection des droites (BD) et (AE).

Soit F le point d'intersection des droites (AB) et (CH).

Démontrer que la droite (CF) est perpendiculaire à la droite (AB).
\end{enumerate}
\end{document}