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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small juin 1981}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit $A$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par

\[A(x) =(3x - 2)(2x + 1) - (3x - 2)^2 + 9x^2 - 4.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $A(x)$. (On ordonnera suivant les puissances décroissantes de $x$.)
\item Factoriser $A(x)$.
\item Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \Oij, construire les droites 
$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ayant respectivement pour équations

\begin{center} $y =3x - 2$\quad et \quad $y = 2x + 5$.\end{center}

\item La droite $\left(D_1\right)$ coupe l'axe des abscisses en un point I.

La droite $\left(D_2\right)$ coupe l'axe des abscisses en J.

Calculer les coordonnées de I et de J.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $A(x) = 0$.

Interpréter graphiquement les solutions de cette équation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

On considère dans un repère orthonormé \Oij{} les points A, B et C définis par

\[\vect{\text{OA}} =4\vect{\imath} + 5\vect{\jmath},\qquad \vect{\text{OB}} = -5\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}, \qquad  \vect{\text{OC}} = \vect{\imath} - 4\vect{\jmath}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances AB et AC ; en déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Soit H la projection orthogonale de A sur (BC).

Trouver les coordonnées de H.
\item Soit A$'\left(-\dfrac72~;~- \dfrac52\right)$.

Montrer que les points A$'$, H et A sont alignés.
 
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{A}'\text{C}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux.
\item On désigne par $\mathcal{C}$ le cercle circonscrit au triangle (A, A$'$, C).

Préciser la position de son centre K et trouver ses coordonnées.

Montrer que le point B appartient au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}