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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small juin 1985}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz juin 1985 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) = 9x^2 - 36x + 36 - (3x - 6)(3x - 5) -12 + 6x.\]

\item Factoriser $f(x)$.

Montrer que $f$ est une fonction affine.
\item Soit A le point de coordonnées (1~;~9) et B le point de coordonnées (3~;~7).

Déterminer une équation de la droite (AB).
\item Dans le plan muni du repère cartésien \Oij{} tracer les droites $D_1$ et $D_2$ d'équations respectives

\begin{center} $y = 3x - 6$\qquad  et \qquad $y = x + 10$.\end{center}
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection
I des droites $D_1$ et $D_2$.
\item Xavier et Yann possèdent à eux deux $10$~F{}.

Yann dit à Xavier : \og Si tu me donnes $1,50$~F{}, je posséderai trois fois plus d'argent que toi \fg.

Quelle somme d'argent avait chacun des enfants ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormé
\Oij, construire les points B, C, D définis par leurs coordonnées :

\begin{center}B$(-2~;~2)$, \qquad  C(2~;~0), \qquad D$(0~;~-4)$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point A tel que (ABCD) soit un parallélogramme et déterminer ses coordonnées.
\item Démontrer que le triangle (BCD) est rectangle isocèle et préciser la nature de (ABCD).
\item Soit I le milieu de [AB], déterminer ses coordonnées. 

En déduire que I appartient à l'axe des abscisses.

On appelle E le symétrique de D dans la symétrie centrale de centre I. 

Donner la nature du quadrilatère (ADBE). 

Comparer les directions des droites (BE) et (BC).

Que peut-on dire des points B, E et C ?
\item La parallèle à l'axe des abscisses, menée par E, coupe la droite (DC) en F.

Démontrer que la droite (EC) est la médiatrice du segment [FD].
\end{enumerate}
\end{document}