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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1994}
\rfoot{\small Nancy }
\lfoot{\small juin 1994}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $A =(3x - 2) (x + 4)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire A.
\item Calculer $A$ pour $x = \dfrac23$  puis pour $x = 1- \sqrt 2$
sans utiliser de valeurs approchées.
\item Résoudre l'équation $A = 0$
\item Soit $E = (3x-2) (2x + 5)-(3x - 2)(x + 4)$.
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $E$.
		\item Développer et réduire $E$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Au cours d'un concert, une salle de spectacle propose deux tarifs de billets d'entrée :

\begin{itemize}
\item Tarif plein.
\item Tarif lycéen.
\end{itemize}

La famille A achète deux billets au tarif plein et trois billets au tarif lycéen. Elle paie $235$~F.

La famille B achète trois billets au tarif plein et deux billets au tarif lycéen. ELLe paie $265$~F.

Calculer le prix d'un billet au tarif plein et le prix d'un billet au tariflycéen.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pour désigner la ville organisatrice des Jeux Olympiques de l'an 2000, 89 pays se sont réunis pour voter. Il y avait 5 villes candidates: Berlin, Istanbul, Manchester, Pékin et Sydney. On sait que 89 pays ont voté. On ne s'intéresse ici qu'aux résultats du premier tour.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'histogramme suivant qui traduit les résultats du premier tour.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(5.2,60)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.125pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(5.2,60)
\uput[u](5,0){Villes}\uput[r](0,58){Nombre de voix}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(1,9)\uput[d](0.5,0){\footnotesize BERLIN}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,0)(2,7)\uput[d](1.5,0){\footnotesize ISTANBUL}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,0)(3,11)\uput[d](2.5,0){\footnotesize MANCHESTER}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](4,0)(5,30)\uput[d](4.5,0){\footnotesize SYDNEY}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize PÉKIN}
\uput[u](5,0){Villes}
\end{pspicture}
\end{center}

\item On veut regrouper ces données sur un diagramme circulaire.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau ci-après.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{2.75cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash\footnotesize }X|}c|}\cline{1-6}
Villes 			&BERLIN &ISTANBUL 	&MANCHES\-TER &PÉKIN 	&SYDNEY	&\multicolumn{1}{|c}{~}\\ \hline
Nombre de voix	&		&			&			&		&		&89\\ \hline
Pourcentages 
de voix			&		&			&			&		&		&100\,\%\\ \hline
Angle au centre associé
 dans le diagramme 
 circulaire		&		&			&			&		&		&$360\degres$\\ \hline
\multicolumn{6}{l|}{~}&TOTAL\\ \cline{7-7}
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Traduire ce tableau par un diagramme circulaire .
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(11.5,11.5)
%\psgrid
\rput{45}(8,0){\multido{\n=-6+1}{20}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,-12)(\n,13.5)}}
\rput{45}(8,0){\multido{\n=-6+1}{20}{\psline[linewidth=0.25pt](-12,\n)(13.5,\n)}}
\uput[u](0.95,4.23){J}\uput[u](2.35,5.64){B} \uput[u](3.75,7.08){K} \uput[u](5.17,8.5){L}
\uput[u](2.35,2.82){A} \uput[u](3.78,4.24){H} \uput[u](5.19,5.65){I} \uput[u](6.6,7.08){C} 
\uput[u](3.77,1.42){G} \uput[u](5.18,2.82){F} \uput[u](6.6,4.22){D} \uput[u](8,5.68){E}
\psdots(0.95,4.23)(2.35,5.64)(3.75,7.08)(5.17,8.5)(2.35,2.82)(3.78,4.24)(5.19,5.65)(3.77,1.42)(6.6,7.08)(5.18,2.82)(6.6,4.22)(8,5.68)
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{Toutes les questions sont indépendantes}

\begin{enumerate}
\item Compléter
	\begin{enumerate}
		\item L'image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$ est \ldots\ldots.
		\item L'image du point par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$
est le point K.
		\item $\vect{\text{IC}} + \vect{\text{CD}} = \ldots\ldots \qquad \vect{\text{AI}} + \vect{\text{AJ}} = \ldots\ldots$.
	\end{enumerate}
\item Construire
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner et colorier en~vert l'image du rectangle noir par la translation de vecteur $\vect{\text{AK}}$.
		\item Construire le point R tel que $\vect{\text{IR}} = \vect{\text{IE}} + \vect{\text{ID}}$.
		\item Dessiner et colorier en bleu l'image du rectangle noir par la rotation de centre D, d'angle $90\degres$ (sens des aiguilles d'une montre).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit le repère orthonormal (O, I, J), l'unité est le centimètre. 

On donne les points A(15~;~0), B(0~;~10). Sur le segment [OA] on place le point M tel que OM $= 9$.

La parallèle à (OB) passant par M coupe (AB) en R.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la figure.
		\item Calculer AB et AM. Exprimer AB sous la forme $a\sqrt b$
où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus petit possible. 
		\item Calculer les longueurs exactes AR et RM.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la droite (AB).
		\item La parallèle à la droite (AB) passant par O coupe la droite
(RM) en D.

Calculer les coordonnées du point D.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La figure (1) représente un pentagone régulier ABCDE inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 5 cm.

Le point H est le projeté orthogonal de O sur le côté [AB].

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle AOB et que
représente la droite (OH) pour l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ ?
		\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ ? Justifier.
		\item Calculer les longueurs AH et OH.
		
Donner les arrondis au dixième de millimètre près.
	\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.6)(2,2)
\pscircle(0,0){2}
\pspolygon(2;15)(2;87)(2;159)(2;231)(2;303)
\psline(2;87)(0;0)(2;159)
\psline(1.618;123)
\uput[ur](2;15){E} \uput[u](2;87){A} \uput[ul](2;159){B} 
\uput[dl](2;231){C} \uput[dr](2;303){D} \uput[ul](1.618;123){H}  \uput[dr](0,0){O}
\rput(0,-2.3){fig. 1}
\rput{-58}(1.618;123){\psframe(0.2,0.2)}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}[resume,start=4]
\item En utilisant les valeurs trouvées dans la question c. calculer une valeur approchée de l'aire du triangle AOB en centimètres carrés puis une valeur approchée de l'aire du pentagone ABCDE en gardant quatre chiffres à la partie décimale.
	\end{enumerate}
\item Dans cette partie on envisage la pyramide de sommet S ayant pour base le pentagone ABCDE précédent et dont la hauteur [SO] mesure 12 cm (voir figure).

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer une valeur approchée du volume de celte pyramide. On prendra 60 cm$^2$ pour l'aire du pentagone.
		\item On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base passant par le point O$'$ du segment [SO] tel que : SO$'= 6$~cm.
	\end{enumerate}
\item On obtient ainsi deux solides. L'un est une pyramide réduction de la pyramide, l'autre est un tronc de pyramide.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-2.9,-0.8)(1.9,2.8)
%\psgrid
\psellipse(0,0)(1.7,0.5)
\pspolygon(-1.6,-0.18)(0.2,-0.48)(1.64,0.1)(0,2.5)(0.2,-0.48)
\psline(0,2.5)(-1.6,-0.2)%SC
\psline(-0.9,0.95)(0.15,0.8)(0.95,1.1)
\psline[linestyle=dashed](-1.6,-0.18)(-0.9,0.4)(0.48,0.48)(1.6,0.1)
\psline[linestyle=dashed](0,2.5)(0.48,0.48)%SA
\psline[linestyle=dashed](0,2.5)(-0.9,0.4)%SB
\psline[linestyle=dashed](0,2.5)(0,0)%SO
\psdots(0,0)(0,1.25)\uput[l](0,1.25){O$'$}
\psline[linestyle=dashed](-0.9,0.95)(-0.5,1.43)(0.23,1.43)(0.95,1.1)
\uput[ur](1.64,0.1){E} \uput[ur](0.48,0.48){A} \uput[ul](-0.9,0.4){B} 
\uput[dl](-1.6,-0.18){C} \uput[dr](0.2,-0.48){D} \uput[d](0,0){O}\uput[u](0,2.5){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'échelle de la réduction ?
		\item Calculer le volume de la pyramide réduction.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\end{document}