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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{septembre 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{ \textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nancy septembre 1960}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

Soient deux axes de coordonnées rectangulaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 3$.

On prend sur $x'\text{O}x$ un point quelconque A et sur $y'\text{O}y$ un point B tels que $2\overline{\text{OB}} = \overline{\text{OA}}$.
\item On suppose, dans cette question, que $\overline{\text{OB}} = 2$ ; montrer que la droite (AB) est perpendiculaire à $(D)$.

Calculer les coordonnées du point C d'intersection de ces deux droites.
\item On suppose que $\overline{\text{OB}} = a$.

Préciser les coordonnées des points A et B correspondants et l'équation de la nouvelle droite (AB).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

On considère un demi-cercle de diamètre [AB]tel que AB $= 2 R$ et la tangente [B$y$) en B.

Un point M parcourt le demi-cercle et (AM) rencontre [B$y$) en M$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles AMB et ABM$'$ sont semblables et en déduire la valeur du produit AM $\cdot$ AM$'$.
\item Soit K le point du segment [AM] tel que 

\[\dfrac{\text{KA}}{\text{KM}} = \dfrac12\]
 et soit G le centre de gravité du triangle AMB.

Montrer que (GK) est parallèle (AB).
\item Si $\widehat{\text{BAM}} = 30\degres$, calculer la longueur des côtés du triangle AMB.
\item Soit (SA) la perpendiculaire au plan AMB en A ; S étant tel que SA$ = 2 R$, montrer que les droites (SA) et (MB) sont orthogonales et que (SM) et (MB- sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{document}