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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Nancy~\decofourright\\[6pt] septembre 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réduire les expressions suivantes : 

\[\begin{array}{l c l}
A &=& \sqrt{18}+ \sqrt{32} - 3\sqrt{8}\\
B &=& \left(\sqrt{2} + \sqrt{3} - 1\right)\left(\sqrt{2} - \sqrt{3} + 1\right) 
\end{array}\]

et calculer $\dfrac{A}{B}$. Rendre le dénominateur rationnel.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Mettre sous forme de produits de facteurs du premier degré les expressions suivantes :
		
\[\begin{array}{l c l}
4x^2 - 4x + 1\quad& ;& x^2 - 6x + 9\\
(x - 1)^2- 4 \quad&;& x^2 -1 + x(x + 1).
\end{array}.\]

	\item Après avoir indiqué son domaine de définition, simplifier la fraction rationnelle.

\[A(x) = \dfrac{\left(4x^2 - 4x + 1 \right)\left[(x - 1)^2 - 4\right]}{\left(x^2 - 6x + 9\right)\left[x^2 - 1  + x(x + 1)\right]}\]
		\begin{enumerate}
			\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation
$A(x) = 0$.
			\item  Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $A(x) = 1$ ?
		\end{enumerate}
	 \item On considère deux axes de coordonnées $x'\text{O}x$, $y'\text{O}y$ perpendiculaires et les droites D et D$'$ représentant respectivement les fonctions définies par:

\[y = 2x- 1 \quad \text{et} \quad y=x- 3.\]

Retrouver graphiquement le résultat de la question précédente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

L'unité étant le centimètre, soit un segment [AB] de mesure 6.

\medskip

\begin{enumerate}
\item M étant le point du segment [AB] tel que $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}} = \dfrac{1}{2}$, calculer les mesures des segments [MA] et [MB].
\item Par M, on mène la perpendiculaire à (AB) qui rencontre
le cercle de diamètre [AB] en C et K.

Calculer les mesures des segments [MC], [CA], [CB].
\item Par M, on mène la perpendiculaire à la corde [BC] qui
coupe (BC) en F et le cercle en D et E (E est sur le demi-cercle $\wideparen{\text{ACB}}$.

Démontrer que MC$^2 = \text{MD} \cdot \text{ME}$.
\item Calculer les mesures des segments [CF], [BF], [MF].
\item La corde [EK] coupe le diamètre [AB] au point L.

Démontrer que les triangles KML et BFE sont semblables.

Calculer leur rapport de similitude $k$.
\end{enumerate}
\end{document}