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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Nancy--Metz}
\lfoot{\small septembre 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy--Metz septembre 1976 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies par 
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&(x + 5)^2 - 9x^2 + 30x - 25 \:\text{et}\\
g(x)&=&2x - 10 - 3(x - 5) - 25 + x^2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Soit $q = \dfrac{f}{g}$ ; déterminer l'ensemble de définition de .
la fonction $q$.

Simplifier $q(x)$.
\item Calculer $q(0), \: q\left(\sqrt 2 - 5\right)$ (rendre entier le dénominateur).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ chacune des inéquations suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item $7x + 4 \geqslant \dfrac{9 - 3x}{5}$ ;
		\item $2x\sqrt 3 - 5\sqrt 2 + 2x\sqrt 2 > 5\sqrt 3$.
	\end{enumerate}
\item Peut-on trouver un sous-ensemble de $\R$ dans lequel les deux inéquations sont simultanément vérifiées ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\smallskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé
\Oij, placer les points A, B, C et H définis respectivement par
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = - 2\vect{\imath} +4\vect{\jmath},\quad \vect{\text{OB}} = 4\vect{\imath} + \vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OC}} =  2\vect{\imath} + 7\vect{\jmath}$ \quad et \quad $\vect{\text{OH}} = 3\vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer les vecteurs $\vect{\text{AH}}, \: \vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{HC}}$ en fonction de $\vect{\imath}$ et de  $\vect{\jmath}$.

Démontrer que les points A, B et H sont alignés
\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{HC}}$ et $\vect{\text{AB}}$ sont orthogonaux.

Calculer les distances $d$(H, C), \: $d$(B, C),\: $d$(H, B).

Quelle est la nature du triangle défini par le triplet (B, H, C) ?
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire en degrés de l'angle géométrique
$\widehat{\text{ABC}}$.

Calculer $\sin \alpha$ et $\tan  \alpha$.

Déterminer $\alpha$.
\item Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AC].

Tracer le cercle $(\mathcal{C})$ de centre M et de rayon [MA].

Démontrer que le point H appartient au cercle $(\mathcal{C})$.
\item Ce cercle recoupe l'axe des ordonnées en K.

Quelle est la nature du quadrilatère défini par (A, H, C, K) ?
\end{enumerate}
\end{document}