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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Diplôme national du brevet Collège}
\lfoot{\small{Nancy--Metz}}
\rfoot{\small{septembre 1990}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy--Metz septembre 1990~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les exercices $1$ et $2$ sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter, dans un repère orthogonal, les deux
droites $d_1$ et $d_2$ d'équations:

\[d_1 :\quad y = 2x + 4,\qquad  d_2 : y = 9 - 3x.\]

On prendra comme unité 1 cm en abscisse comme en ordonnée.
\item Le rectangle ABCD ci-dessous a pour dimensions, en centimètres :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,3.8)
\psframe(0.2,0.2)(4.6,3.1)
\uput[ur](4.6,3.1){A} \uput[ul](0.2,3.1){B} \uput[dl](0.2,0.2){C} \uput[dr](4.6,0.2){D}
\rput(7,1.6){AB $= 2x + 4$}
\rput(7,1.1){AD $= 9 - 3x$}
\end{pspicture}
\end{center}

À l'aide du graphique de la question 1, répondre aux questions suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item --quelle est la valeur de AB lorsque $x$ vaut $0,5$cm ?
		
-- quelle est la valeur de $x$ pour laquelle AD $= 3$ cm ?
		\item Pour quelle valeur de $x$, ABCD est-il un carré ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

Un statisticien a étudié les prix de vente des logements d'une ville. 

Afin de faciliter les comparaisons, il a calculé le prix d'un mètre carré pour chaque logement vendu en 1988.

Il a ainsi obtenu le tableau ci-après où : $m$ est le prix du mètre carré en francs,
$p$ est le nombre de logements vendus au prix correspondant.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
$m$&$p$\\ \hline
$\np{4000} \leqslant m < \np{8000}$		&\np{6000}\\ \hline
$\np{8000} \leqslant m < \np{12000}$	&\np{13000}\\ \hline
$\np{12000} \leqslant m < \np{16000}$	&\np{9600}\\ \hline
$\np{16000} \leqslant m < \np{20000}$	&\np{5700}\\ \hline
$\np{20000} \leqslant m < \np{24000}$	&\np{5700}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre total de logements vendus dans la ville.
\item Représenter en barres rectangulaires \og verticales\fg{} le nombre de logements de chaque type vendu : largeur des barres : 2 cm, hauteur des barres : 1 cm pour \np{1000}~logements.
\item Calculer le pourcentage du nombre de ventes de logements de chaque type, par rapport au nombre total de logements vendus.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les exercices $1$ et $2$ sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Un immeuble est vu sous un angle de 24 degrés d'un lieu situé à $65$ mètres de son pied.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.6,3)
\psline(0,0)(9.6,0)
\psline(0.8,0)(0.8,2.9)(2.3,2.9)(8.6,0)
\psline(2.3,2.9)(2.3,0)
\psframe(2.3,0)(2.5,0.2)
\psarc(8.6,0){0.5}{156}{180}
\end{pspicture}
\end{center}

Quelle est la hauteur de l'immeuble ?

(On donnera le résultat à 1 mètre près par excès) .
\item Cet immeuble comporte onze étages, rez-de-chaussée compris.

Le résultat précédent vous paraît-il acceptable si l'on admet, pour la construction, une hauteur de $2,60$~mètres par étage?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

Le quadrilatère PRMN ci-après est un losange dont les diagonales se coupent en un point Q.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4.8)
\psline(0.2,0.2)(4.1,0.2)(6.1,3.4)(2.2,3.4)(0.2,0.2)(6.1,3.4)(2.2,3.4)(4.1,0.2)%PRMNPMNR
\uput[dl](0.2,0.2){P} \uput[dr](4.1,0.2){R} \uput[ur](6.1,3.4){M} \uput[ul](2.2,3.4){N} \uput[u](3.15,1.8){Q}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser pourquoi le cercle de diamètre [PR] passe par Q.
\item S étant le centre de ce cercle, on considère le point L diamétrale- ment opposé à Q.

Montrer que le quadrilatère PLRQ est un rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill \hfill 12 points}

\medskip

Toutes les longueurs sont exprimées en millimètres.

ABCD est un carré de côté $20$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit R le milieu de [AD].

Calculer RC (réponse sous forme $a\sqrt 5$ où $a$ est un entier).
\item Calculer $\tan \widehat{\text{DRC}}$ ; en déduire une valeur approchée à 0,1 degré
près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{DRC}}$.
\item Tracer le cercle $\mathcal{C}$ de centre R, de rayon RC. 

$\mathcal{C}$ de coupe la demi-droite [RD) en E.

Calculer AE (réponse sous forme $p\left(1 + \sqrt 5\right)$ où $p$ est un entier).

\item Soit $x$ le nombre $\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}}$.

Montrer que

\[x = \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}\]

($x$ est appelé NOMBRE D'OR).
\item Calculer $x^2 - x - 1$.
\item Soit F le point tel que EABF soit un rectangle.

(EABF est un rectangle d'or car le quotient de la longueur par la largeur est égal au nombre d'or).

Dans EABF s'inscrit à l'échelle $\dfrac{1}{\np{1000}}$ le schéma d'un temple grec.

Calculer les distances réelles $h$ et $l$ en mètres.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.2,3.4)
\psframe(0.2,0.2)(4.3,2.7)
\uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](4.3,0.2){F} \uput[ur](4.3,2.7){E} \uput[ul](0.2,2.7){A} 
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,0)(4.3,0)\uput[d](2.25,0){$l$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.5,0.2)(4.5,2.7)\uput[r](4.5,1.35){$h$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}