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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1994}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small septembre 1994}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz septembre 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Les questions $1, \: 2$ et $3$ peuvent être traitées dans un ordre différent}

\medskip

On donne l'expression $E = (2x - 3)^2 - (2x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser cette expression.
\item Développer et réduire $E$. 

Utiliser l'expression obtenue pour calculer la valeur exacte de $E$ lorsque $x = \sqrt 3$.
(donner le résultat sous la forme $a + b \sqrt 3$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs).

Donner ensuite une valeur approchée de $E$ à un centième près.
\item Résoudre l'équation $(2x - 3)(2x - 4) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne : $y = 3x - 8z$.

Dans chaque cas, donner le résultat sous la forme d'une fraction aussi simplifiée que possible.


\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne : $x = \dfrac23$ et $z =- \dfrac{1}{12}$ ; calculer $y$.
\item On donne : $y = 6$ et $z = 3$ ; calculer $x$.
\item On donne : $x = \dfrac43$ et $y = \dfrac45$ ; calculer $z$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\multicolumn{3}{c}{Répartition des livres d'une bibliothèque par catégorie}\\ \hline
\textbf{Catégories de livres}&\textbf{Nombre de livres}&\textbf{Pourcentages
par rapport au nombre total de livres}\\ \hline
Romans 						&\np{6750}	&\\ \hline
Bandes dessinées			&\np{1500}	&\\ \hline
Policiers					&&\\ \hline
Histoire-géographie-loisirs	&			&\\ \hline
TOTAL						&\np{15000}		&100\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Utiliser l'histogramme ci-après pour calculer le nombre de \og policiers \fg, puis compléter la colonne \og nombre de livres\fg{} du tableau.
\item Calculer les pourcentages et compléter la dernière colonne.
\item Terminer l'histogramme.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-10)(9.5,70)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,0)(6,20)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(9.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=11,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(9.5,70)
\uput[u](8,0){Catégories de livres}
\uput[r](0,67.5){Pourcentage par rapport au nombre de livres}
\rput{45}(1,-7){Romans}\rput{45}(2.8,-7){Bandes}\rput{45}(3.2,-7){dessinées}
\rput{45}(5,-7){Policiers} \rput{45}(6.6,-7){Histoire}
\rput{45}(7,-7){Géographie}  \rput{45}(7.4,-7){Loisirs}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABCDEFGH est un cube d'arête 10 cm. Le point I est l'intersection des segments [AC] et [BD).

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de BD puis la valeur approchée arrondie au millimètre près.
\item Dessiner en vraie grandeur l'intersection du cube avec le plan BDHF.
\item Tracer le segment [FI] sur la figure de la question 2 puis calculer l'angle BîF au degré près.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.1,5.3)
\psframe(0.3,0.3)(3.5,3.5)%ADHE
\psline(3.5,0.3)(4.8,1.6)(4.8,4.8)(3.5,3.5)%DCGH
\psline(4.8,4.8)(1.6,4.8)(0.3,3.5)%GFE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(4.8,1.6)(1.6,1.6)(3.5,0.3)%ACBD
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.6,1.6)(1.6,4.8)%ABF
\psline[linestyle=dashed](3.5,0.3)(1.6,4.8)(2.55,0.95)%DFI
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[l](1.6,1.6){B} \uput[r](4.8,1.6){C}
\uput[dr](3.5,0.3){D} \uput[l](0.3,3.5){E} \uput[ul](1.6,4.8){F}
\uput[ur](4.8,4.8){G} \uput[r](3.5,3.5){H} \uput[d](2.55,0.95){I}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le réseau triangulaire ci-dessous est constitué de triangles équilatéraux superposables. 

On effectuera les constructions demandées sur ce réseau.

\medskip
\begin{center}
\begin{pspicture*}(0,-0.3)(10.3,5.5)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=blue](3.67,0.5)(5.34,0.5)(4.9,1.2)(5.7,2.6)(4.88,2.6)
\rput(4.7,1.6){\textcircled{1}}
\multido{\n=-20.000+1.41}{40}{\psplot[plotpoints=500,linewidth=0.6pt,algebraic]{0}{16}{1.732*x+\n}}
\multido{\n=21.000+-1.41}{40}{\psplot[plotpoints=500,linewidth=0.6pt,algebraic]{0}{16}{+\n-1.732*x}}
\multido{\n=-0.2+0.7}{10}{\psline(0,\n)(10.3,\n)}
\psdots[linecolor=red](2.87,1.91)(5.7,2.6)(7.78,4.76)(9.8,4.)
\uput[u](7.78,4.76){S}\uput[u](9.8,4.){T}\uput[u](5.7,2.6){O}
\uput[u](2.8,1.91){P}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Construire la figure \textcircled{2} transformée de la figure \textcircled{1} par la translation de vecteur $\vect{\text{ST}}$.
\item Construire la figure \textcircled{3}, transformée de la figure \textcircled{1} par la rotation de centre O et d'angle $60\degres$ (dans le sens des aiguilles d'une montre).
\item Construire la figure \textcircled{4}, transformée de la figure \textcircled{1} par la symétrie de centre P.

Numéroter les figures \textcircled{2}, \textcircled{3}, \textcircled{4} et les colorier de trois couleurs différentes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\textbf{Les deux parties du problème sont indépendantes}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(11,7)
\psframe(0.5,0.5)(10.5,6.5)
\pspolygon[fillstyle=hlines](4.5,6.5)(10.5,0.5)(0.5,3.5)
\uput[ul](0.5,6.5){A}\uput[u](10.5,6.5){B}\uput[dr](10.5,0.5){C}
\uput[dl](0.5,0.5){D}\uput[ur](4.5,6.5){E}\uput[dl](0.5,3.5){F}
\uput[l](0.2,5){$x$}\uput[u](2.5,6.7){4}\uput[r](10.7,3.5){6}
\uput[d](5.5,0.2){10}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,3.5)(0.2,6.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,6.7)(4.5,6.7)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(10.7,6.5)(10.7,0.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.2)(10.5,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}

L'unité de longueur est le centimètre.

ABCD est un rectangle tel que DC $= 10$ et BC $= 6$.

E est le point du segment [AB] tel que AE $= 4$.

F est le point du segment [AD] tel que AF $= x$.

\bigskip

\textbf{\textsc{PREMIÈRE PARTIE}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Dans cette première partie, on utilisera la figure de l'énoncé.}

Quelle est l'aire du triangle EBC ?
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du triangle AEF, puis l'aire du triangle DFC.
\item Montrer que l'aire $y$ du triangle EFC peut s'écrire sous la forme $y = 3x + 12$.
\item Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la portion de la droite d'équation $y = 3x + 12$ pour $0 \leqslant x \leqslant 6$.

En abscisse 1 cm représentera 1 cm.

En ordonnée $1$ cm représentera $4$ cm$^2$.
\item En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle EFC est-elle minimale ? Où se trouve alors F ?
		\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire du triangle EFC est-elle inférieure ou égale à $18$ cm$^2$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{DEUXIÈME PARTIE}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $x = 2,4$. Faire la figure.

Montrer que, dans ce cas, les droites (BF) et (BD) sont parallèles.

Calculer l'aire du triangle EFC lorsque $x = 2,4$ (voir 1\up{re} partie, question 3).
\item La droite (BD) coupe la droite (BC) en M et la droite (FC) en L.

La droite (FE) coupe la droite (BC) en K.

Montrer que le quadrilatère FKBD est un parallélogramme.
\item Calculer BK, CK, puis les rapports $\dfrac{\text{ CB}}{\text{CK}}$ et $\dfrac{\text{ CM}}{\text{CE}}$.
\item Montrer que l'aire du triangle MLC se déduit simplement de l'aire du triangle EFC et calculer cette aire.
\end{enumerate}
\end{document}