\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{colortbl} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small juin 1997} \lfoot{\small Limoges} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Limoges juin 1997 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE NUMÉRIQUE} \medskip L'exercice consiste à déterminer onze nombres entiers. \medskip \begin{enumerate} \item Pour trouver ces nombres, on répondra aux questions suivantes : \textbf{A.} Calculer, en indiquant les étapes : $3 \times 10^{-4} \times 7 \times 10^6 \times 1,25$. \textbf{B.} \textbf{a.} Calculer, en indiquant les étapes : $\left(3 - 4 \times \dfrac23\right) : \dfrac{1}{12}$. \textbf{b.} Calculer, en indiquant les étapes: $\left(6 \sqrt 2\right)^2 + 1$. \textbf{c.} Trouver un nombre entier compris entre 300 et 350 qui soit le carré d'un nombre entier. \textbf{D.} Le nombre $4\sqrt 5 + \sqrt{245}$ peut s'écrire sous la forme $a \sqrt 5$. Calculer le nombre entier $a$. \textbf{E.} \textbf{a.} Donner la solution positive de l'équation $x^2 = 576$. \textbf{b.} Développer et réduire l'expression : $E=(3x - 4)^2- (3x- 5)(3x- 3)$. \textbf{F.} Résoudre l'équation $(x - 6)(3x - 93) = 0$. \textbf{G.} Factoriser l'expression $F = (x - 280)^2 - 8^2$. On trouvera une expression de la forme $(x - b)(x - c)$. Quel est le plus petit des nombres $b$ et $c$ ? \textbf{H.} Le nombre $N$ est compris entre \np{5300} et \np{5400}. Le chiffre des unités de $N$ est égal à celui des dizaines. La moyenne des chiffres de $N$ est égale à 4. Déterminer le nombre $N$. \item Vérifier que l'on peut reporter dans la grille ci-contre : \begin{minipage}{0.65\linewidth} \begin{itemize} \item horizontalement, les réponses aux questions \textbf{A.}, \textbf{B a.}, \textbf{B.b.}, \textbf{C.} et \textbf{D.} ; \item verticalement, les réponses aux questions \textbf{E. a.}, \textbf{E. b.}, \textbf{F.}, \textbf{G.} et \textbf{H.} \end{itemize} Reproduire et compléter ainsi cette grille. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.3\linewidth} \begin{tabularx}{\linewidth}{c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \multicolumn{1}{c}{~} &\multicolumn{1}{c}{E} &\multicolumn{1}{c}{F} &\multicolumn{1}{c}{G} &\multicolumn{1}{c}{H}\\ \cline{2-5} A & & & &\\ \cline{2-5} B & &\cellcolor{black}&&\\ \cline{2-5} C &\cellcolor{black} & &\cellcolor{black}&\\ \cline{2-5} D & & & &\\ \cline{2-5} \end{tabularx} \end{minipage} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Dans un repère orthonormal (0 ; 1; J) tel que OI = OJ $= 1$ cm, on considère les points: \begin{center} A(2~;~6),\quad B(-3~;~3),\quad C(2~;~0), \quad D(7~;~3) \psset{unit=0.8cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(-4,-1)(9,7) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-4,-1)(9,7) \pspolygon(2,6)(-3,3)(2,0)(7,3)%ABCD \uput[u](2,6){A} \uput[l](-3,3){B} \uput[d](2,0){C} \uput[r](7,3){D} \uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}\uput[dl](0,0){O} \psline(1,-0.1)(1,0.1)\psline(-0.1,1)(0.1,1) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$. Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. \item Calculer les distances AB et AD (on donnera les valeurs exactes). Que peut-on alors dire du parallélogramme ABCD ? Justifier. \item Reproduire la figure ci-dessus. Construire le point M centre du parallélogramme ABCD. Calculer les coordonnées de M. \item \begin{enumerate} \item Quelle est l'image du triangle AMD par la symétrie centrale de centre M ? \item Citer une transformation qui permet de passer du triangle ACD au triangle ABC. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip On complétera la figure au fur et à mesure. \medskip \begin{enumerate} \item Construire un triangle ABC isocèle en B tel que AB = 5 cm et $\widehat{\text{ABC}} = 120\degres$. \item On appelle H le pied de la hauteur issue de B dans ce triangle. \begin{enumerate} \item Quelle est la mesure de l'angle HBC? Justifier votre réponse. \item Calculer la distance BH. (On pourra consulter l'extrait de la table trigonométrique ci-dessous.) \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline mesure de l'angle en degrés &cosinus &sinus &tangente\\ \hline $30\degres$ &\np{0,866025} &0,5 &\np{0,577350}\\ \hline $60\degres$ &0,5 &\np{0,866025} &\np{1,732051}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \item Le cercle de centre B, de rayon $5$ cm coupe la droite (AB)en D. \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (BH) et (DC) sont parallèles. \item Calculer la distance DC. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PROBLÈME} \medskip \textbf{PARTIE 1} \medskip Bruno dispose d'un plan de son studio à l'échelle $\dfrac{1}{100}$ : c'est un rectangle de longueur $4,9$ cm et de largeur $4$ cm. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les dimensions réelles en m du studio. \item Calculer l'aire réelle du studio en m$^2$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE 2} \medskip Pour recouvrir le sol de sonstudio, Bruno cherche à se procurer $20$ m$^2$ de moquette. Il s'informe des tarifs dans deux magasins Toumoquette et Beautapis. Comme on est en fin de saison, chaque magasin propose des conditions exceptionnelles : Chez Tournoquette, la pose de la moquette est gratuite. Chez Beautapis, on accorde un rabais de 20\,\% sur le prix de la moquette, mais il faudra payer la pose qui coûte $520$ F{}. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Bruno choisit chez Toumoquette une moquette qui coûte $90$ F le rn", Calculer la dépense de Bruno. \item Bruno choisit chez Beautapis une moquette qui coûte également $90$ F le m$^2$, mais avant rabais. Calculer la dépense de Bruno, pose comprise. \end{enumerate} \item Soit $x$ le prix du m$^2$ de moquette, $T$ le prix payé chez Toumoquette, $B$ le prix payé chez Beautapis. \begin{enumerate} \item Écrire $T$ en fonction de $x$. \item Vérifier que chez Beautapis, le prix payé pour une moquette à $x$ F le m2 est égal, après la réduction de 20\,\%, à $16x$. \item En conclure que $B = 16x + 520$. \end{enumerate} \item Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Sur une feuille de papier millimétré, construire ce repère de manière que: l'origine soit placée en bas à gauche, \begin{itemize} \item en abscisse, 1 cm représente $10$ F, \item en ordonnée, 1 cm représente $200$ F. \end{itemize} Soit $d_1$ et $d_2$ les droites d'équations : $y = 20x \, (d_1),\quad y = 16x + 520\, (d_2)$. Tracer $d_1$ et $d_2$ dans ce repère. \item Déterminer par lecture graphique, le magasin le plus avantageux en fonction du prix du m$^2$ de moquette. \item Retrouver par calcul, pour quelles valeurs de $x$, le prix $T$ est inférieur ou égal au prix $B$. \end{enumerate} \end{document}