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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1983}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $P$ et $Q$ les applications, de $\R$ dans $\R$, définies par

\[\begin{array}{l c l}
P(x)&=& 16x^2 + 8x + 1 -4x(4x + 1)\\
Q(x)&=&(x -2)^2 -(x +2)^2 +4.
\end{array}\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $P(x)$ et $Q(x)$. 

En déduire que les applications $P$ et $Q$ sont des applications affines.
\item Calculer $P\left(\sqrt 2\right)$ et $Q\left(\sqrt 2\right)$. 

Sachant que $1,414< \sqrt 2 < 1,415$, donner un encadrement à $10^{-1}$ près de $P\left(\sqrt 2\right)$ et $Q\left(\sqrt 2\right)$.
\item Représenter graphiquement dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} les applications $P$ et $Q$.
\item Résoudre, dans $\R$,l'équation $P(x) = Q(x)$ et interpréter graphiquement la solution obtenue.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit un plan muni d'un repère orthonormé \Oij. 

A, B, C les points définis par

\begin{center} $\vect{\text{OA}} = \vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$,\quad $\vect{\text{OB}} = - 2\vect{\imath} + 5\vect{\jmath}$,\quad et $\vect{\text{OC}} = 5\vect{\imath} + 6\vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées des points A, B et C ?
		\item Faire une figure et placer les points.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les composantes ou coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{AB}}$ ?
		\item Calculer les longueurs des côtés du triangle (A, B, C).
		\item Montrer que (A, B, C) est un triangle rectangle.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (AB).
		\item En déduire le coefficient directeur de la droite (AC).
	\end{enumerate}	
\item Soit $S$ la symétrie centrale de centre A,  B$' = S$(B), C$' = S$(C).

Calculer les coordonnées de B$'$ et C$'$.
\item Montrer que (B, C, B$'$, C$'$) est un losange.
\item Soit I, J, K, L les milieux respectifs des segments [BC]\:; [CB$'$]\:; [B$'$C$'$]\:; [C$'$B].

Montrer que (I, J, K, L) est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{document}