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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nantes juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit deux axes de coordonnées rectangulaires, $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, sur lesquels l'unité de longueur choisie est le centimètre.

Construire la droite $(D)$ représentative de la fonction
\[y = - \dfrac x2 + 5.\]
\item La droite $(D)$ passe-t-elle par le point A de coordonnées $x = 4, y = 3$ et par le point B de coordonnées $x = 3, y = 6$ ?

Justifier la- réponse.
\item Tracer les droites (OB) et (AB).

Quelles sont les équations de ces droites ?
\item La droite (OB) coupe la droite $(D)$ en P.

Quelles sont les coordonnées du point I ?

Montrer que le triangle IAB est rectangle en 1 et isocèle.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC rectangle en A et dans lequel $\widehat{\text{B}} > \widehat{\text{C}}$.

Soit D le point du segment [AC] tel que $\widehat{\text{ABD}} = \widehat{\text{ACB}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles ABC et ADB sont semblables.
\item Montrer que 
\begin{center}AB$^2 =$ AC $\times$ AD.\end{center}

En déduire que le cercle, de centre O, passant par
les points B, C, D admet la droite (AB) comme tangente en B.
\item Soit E le point diamétralement opposé au point B
sur le cercle (O).

Que peut-on dire des droites (AC) et (BE) ?

Quelle est la nature du quadrilatère BDCE ?
\item Comparer les segments de droite [BC] et [DE].

En déduire que 
\begin{center}BE$^2$ = BC$^2$ + BD$^2$.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}