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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nantes}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Nantes~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

On utilise dans le plan un repère orthonormé: les axes $(x'\text{O}x)$ et $(y'\text{O}y)$ sont perpendiculaires et l'on adopte la même unité de longueur sur chacun d'eux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On donne la relation

\[3x + 4y - 18 = 0\]

entre les coordonnées d'un point du plan : mettre cette relation
sous la forme $y = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des constantes.

Tracer la droite (D) déterminée ainsi ; cette droite coupe les axes du repère en deux points A (sur l'axe des abscisses et B (sur l'axe des ordonnées) : indiquer les coordonnée ces points.
		\item Traiter les mêmes questions avec la relation $4x- 3y + 26 = 0$ :
la droite obtenue est appelée (D$'$) ; A$'$ et B$'$ sont les points de cette droite situés respectivement sur l'axe des abscisses et  sur l'axe des ordonnées.
		\item Quelle est la position relative des droites (D) et (D$'$) ?
		
Quelles sont les coordonnées du point C commun à (D) et 
à (D$'$) ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Un point M est placé sur (D) : son abscisse est $x$.
		
Calculer la longueur MC en fonction de $x$ : on trouvera

\[\text{MC} = \dfrac{5}{4}|x + 2|.\]
		\item Calculer en fonction de $x$ la somme des \emph{distances} de M  aux trois droites qui portent les côtés du triangle (0,A$'$B$'$)  ; on  appellera $z$ cette somme et l'on montrera que $z$ est une fonction affine de $x$ dans chacun des quatre cas suivants :
		
\[x \leqslant -2\quad ;\quad- 2\leqslant x \leqslant 0\quad ; \quad 0 \leqslant x \leqslant 6; 6 \leqslant x \]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $z$ en fonction de $x$ et construire, dans un second repère orthonormé, la courbe représentative de ces variations.
		
Quel est le minimum de $z$ ? Quelle position de M correspond à ce minimum ?
		\item Où faut-il placer M pour que $z$ soit égal à 8 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

On donne un triangle (A, B, C) non rectangle, et son cercle circonscrit (U).

L'orthocentre est H ; les pieds des hauteurs issues de A, de B et de C sont respectivement A$'$, B$'$ et C$'$. 

La hauteur [AA$'$] recoupe (U) en M.

On fera deux figures différentes: dans l'une, A$'$ sera à l'extérieur du segment [BC] et l'on indiquera la condition pour qu'il en soit ainsi ; dans l'autre, A$'$ sera situé sur le segment [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer $\overline{\text{A}'\text{M}} \cdot  \overline{\text{A}'\text{A}} = \overline{\text{A}'\text{B}} \cdot \overline{\text{A}'\text{C}}$.
		\item Comparer les triangles (A, A$'$, C) et (B, A$'$, H).
Démontrer $\overline{\text{A}'\text{H}} \cdot \overline{\text{A}'\text{A}} = - \overline{\text{A}'\text{B}} \cdot  \overline{\text{A}'\text{C}}$.
		\item Comparer $\overline{\text{A}'\text{H}}$ et $\overline{\text{A}'\text{M}}$ ; comparer les positions de M et de H sur la droite (AA$'$).
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le quadrilatère (B, C, B$'$, C$'$) est inscriptible.
		
Démontrer $\overline{\text{AB}} \cdot  \overline{\text{AC}'} = \overline{\text{AB}'} \cdot  \overline{\text{AC}}$.

Démontrer que les triangles (A, B$'$, C$'$) et (A, B, C) sont semblables.
		\item On donne AB $= 10$, BC $= 16$, $\widehat{\text{ABC}} = 60\degres$.

Calculer successivement

\[\text{AA}',\, \text{BA}',\, \text{CA}',\, \text{AC},\, \text{BC}',\, \text{AC}',\, \text{AB}',\, \text{B}'\text{C}'.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} - Les deux questions sont indépendantes.
\end{document}