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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On donne les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies sur $\R$ par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (2x - 5)^2 - (3 - x)^2,\\
g(x) &=& x^2 - 4x + 4 + (x - 2)(x + 3).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de polynôme ordonnés.
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $g(x) = 0$ ;
		\item $g(x) = - 2$ ;
		\item $f(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $h$ est la fonction rationnelle qui, au réel $x$ associe
le réel
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Indiquer l'ensemble de définition de la fonction $h$ et donner une écriture simplifiée de $h(x)$ sur cet ensemble.
		\item $k$ est la fonction rationnelle qui, au réel $x$, associe
le réel
\[k(x) = \dfrac{3x - 8}{2x + 1}.\]

Les fonctions $h$ et $k$ sont-elles égales ?
	\end{enumerate}
\item  Résoudre dans $\R$ les équations suivantes ;
	\begin{enumerate}
		\item $h(x) = - \dfrac25$ ;
		\item $k(x) = - \dfrac25$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

Les points A, B et E sont définis par
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 32\vect{\jmath}, \quad\vect{\text{OB}} = 24\vect{\imath}$, \quad et \quad  $\vect{\text{OC}} = - 18\vect{\jmath}$.\end{center}

La droite (OA) est appelée $(D)$ et la droite (OB) est appelée $(D')$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner avec soin une figure comportant ces différents éléments : on complètera cette figure au fur et à mesure de l'avancement du problème.

Démontrer que (AB) et (EB) sont perpendiculaires.

Calculer les longueurs AB et EB.
\item Comparer les sinus des écarts angulaires de $\widehat{\text{OAB}}$ 
et $\widehat{\text{OBE}}$.

Calculer les cosinus et les tangentes de ces mêmes écarts angulaires.
\item Soit M le milieu de (A,  B) ; la médiatrice de [AB] 
coupe $(D)$ en P ; quel est le rôle de P pour (A, E) ?

Écrire $\vect{\text{OP}}$ sous forme $k\vect{\jmath}$, où $k$ est un réel.

Quel est Je centre du cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit à (A, B, E) ?

Quelle est la mesure du rayon de ce cercle ?
\item Soit F le point diamétralement opposé à B sur le cercle $(\mathcal{C})$.

En utilisant par exemple la symétrie centrale $S$ de centre P. dire quelle est la nature du quadrilatère (A, B, E, F).

Quels sont les transformés de A, de B, de E, de F{}, du cercle $(\mathcal{C})$ dans la symétrie orthogonale $S'$ par rapport à la droite (PM) ?

Démontrer que (A, B, E), (B, A, F),  (E, F, A) et (F, E, B) sont isométriques.
\end{enumerate}
\end{document}