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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1981}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soient $f$ et $g$ deux applications de $\R$ dans $\R$, définies par

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(2x - 3)(x - 4)-(2x -3)^2 + 4x^2 - 9\\
g(x)&=&(3x + 1)^2 - (x + 4)^2.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Calculer $f\left(\dfrac32\right)$ et $f(- 2)$ ; $f$ est-elle une bijection de $\R$ dans $\R$ ? Justifier la réponse.
\item Calculer $g\left(\sqrt 3 + 1\right)$.

Déterminer une valeur approchée à $10^{-1}$ près par défaut de $g\left(\sqrt 3 + 1\right)$ (on rappelle que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$).
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ les deux équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $g(x) = 0$ ;
		\item $f(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit un triangle rectangle isocèle (A, B, C) tel que (AB) soit perpendiculaire à (AC) et que 

$d$(A, B) soit égale à 6.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle H le projeté orthogonal de A sur (BC) : calculer $d$(B, C) et $d$(A, H).
\item Soit K le symétrique de H dans la symétrie orthogonale d'axe (AC).

Quelle est la nature du quadrilatère (A, H, C, K) ?
\item Démontrer que les points A, H, C et K appartiennent à un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. 

En déduire que la droite (AB) est tangente à $\mathcal{C}$.
\item Soit L le symétrique de K dans la symétrie orthogonale d'axe (AB) : démontrer que les points A, L et H sont alignés.
\item Soit $\{\text{J}\} = (\text{LK}) \cap (\text{AB})$. 

Déterminer $\cos \widehat{\text{LBA}}$ et $\tan \widehat{\text{LBA}}$. 

En déduire les mesures approchées à $1\degres$
près par défaut des angles $\widehat{\text{LBA}}$,\:$\widehat{\text{KBA}}$ et 
$\widehat{\text{BLK}}$.
\end{enumerate}
\end{document}