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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1985}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1985 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) = (3x - 2)^2 - (6x - 4)(x - 2) + (3x - 2).\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.
\item Développer $f(x)$.
\item Calculer $f\left(\dfrac34\right)$ et $f\left(1 - \sqrt 2\right)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Lors d'une fin de semaine un musée a enregistré les recettes suivantes :

Samedi : \np{1160}~F pour 120 entrées adultes et $50$ entrées enfants.

Dimanche : $920$~F pour 100 entrées adultes et $30$ entrées enfants.

Déterminer le prix d'une entrée adulte et d'une entrée enfant.

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

L'unité étant le centimètre, on considère un carré (OPQR) de côté 1 comme suit:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.4,2.4)
\psframe(0.2,0.2)(2.2,2.2)
\uput[dl](0.2,0.2){O} \uput[dr](2.2,0.2){P} \uput[ur](2.2,2.2){Q} \uput[ul](0.2,2.2){R} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Reproduire ce carré sur une feuille de papier millimétré.
\item Représenter les vecteurs 

\begin{center}$\vect{u} = 2\vect{\text{OR}} +3\vect{\text{OQ}} +3\vect{\text{OP}}$ \quad et \quad 
$\vect{v}= 2\vect{\text{RP}} + 5\vect{\text{PO}}$.\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Le plan $P$ est muni du repère orthonormé \Oij{} où $\vect{\imath} = \vect{\text{OP}}$  et $\vect{\jmath} = \vect{\text{OR}}$. 

Soit A(6~;~5) et B$(-3~;~-1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les composantes des vecteurs $\vect{\text{BR}}$ et $\vect{\text{BA}}$ dans la base $\left(\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$.

En déduire que les points B, R et A sont alignés.
\item Soit I le milieu de [BA]. Déterminer les coordonnées de I.
\item Soit C$\left(\dfrac72~;~-1\right)$.

Déterminer les coordonnées du point D tel que I soit le milieu de [CD].

Quelle est la nature du quadrilatère (ACBD) ? Justifier la réponse.
\item Prouver que les vecteurs $\vect{\text{IA}}$ et $\vect{\text{IC}}$ sont orthogonaux.

Préciser alors la nature du quadrilatère (ACBD).
\item Soit $(d)$ la droite d'équation $2x - 3y + 3 = 0$. 

Prouver que $(d) =$ (AB).
\item À quelle condition sur les vecteurs $\vect{\text{IM}}$ et $\vect{\text{BA}}$, le point M$(x~;~y)$ appartient-il à la droite (OC) ?

Trouver alors l'équation de cette droite.
\end{enumerate}






\end{document}