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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nantes}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Nantes~\decofourright\\[6pt] septembre 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

Le repère du plan est orthonormé: les axes ($x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$) sont perpendiculaires ; la même unité de longueur est utilisée sur chacun d'eux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On envisage la somme

\[S = |x| + |y|\]

où $x$ et $y$ sont les coordonnées d'un point M quelconque du plan.

Écrire cette somme sans utiliser le signe de valeur absolue suivant le quadrant où est marqué M (il y a 4 cas à étudier).
		\item Construire l'ensemble (C) des points M pour lesquels
est vérifiée l'égalité

\[|x| + |y| = 8 \:;\]

on constatera que cet ensemble est formé des quatre côtés d'un
carré, chacun des côtés appartenant à un quadrant. 
	\end{enumerate}
\item De la relation $x - 6y + 13 = 0$, déduire $y$ en fonction de $x$ et tracer la droite (D) ainsi déterminée.

Trouver les coordonnées des deux points communs à (D) et à (C) : on appellera ces points P et Q (P a une abscisse positive).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si A est le point dont les coordonnées sont 0 et 8, calculer les longueurs AP et AQ ; calculer l'aire du triangle (P, A, Q).
		\item Quelles sont les coordonnées du point B tel que (P, A, Q, B) soit un rectangle ?
		\item Quelle est l'équation de la droite (D$'$) qui passe par E et qui est parallèle à (D) ?
		\item Quelles sont les coordonnées des points R et S où (D$'$) coupe (C) ?
		\item Comparer l'aire des triangles (P, A, Q), (P, B, Q), (P, R, Q) et (P, S, Q).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

On donne deux cercles (U) et (V) dont les centres sont respectivement I et J ; les rayons de ces cercles ont même mesure ;  les cercles se coupent en deux points distincts A et B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prend sur (U) un point C distinct de A et de B ; marque alors sur (V) le point D choisi de telle façon que droites (AC) et (BD) soient parallèles.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le quadrilatère (A, C, B, D) est un parallélogramme ; préciser le centre O de ce parallélogramme.
		\item Dire pourquoi ce parallélogramme ne peut pas être rectangle.
		\item Comment peut-on choisir C pour que ce parallélogramme soit un losange ?
	\end{enumerate}
\item Soit H le point de (V) diamétralement opposé à G ; démontrer que H est l'orthocentre du triangle (A, B, C).
\item En comparant les triangles (D, O, J) et (D, C, H), démontrer que la longueur CH ne dépend pas du point C choisi sur (U).
\end{enumerate}
\end{document}