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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small septembre 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes septembre 1976 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On étudie les deux fonctions polynômes $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f : x \longmapsto f(x) &=& (2x - 1)(12x - 1)- 4x^2 +1\:\text{et}\\
f : x \longmapsto g(x) &=&20x - 4.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Mettre $f(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Calculer $f\left(\dfrac12\right),\:f\left(\dfrac13\right)$ et $f\left(\sqrt 3 + 1\right)$.
\item Soit $h$ la fonction qui, au réel $x$, associe 
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition de $h$ ?
		\item Simplifier $h(x)$ sur cet ensemble.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation $h(x) + \dfrac{3}{10} = 0$.
\item Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

Dans le plan euclidien (P) rapporté à un repère
orthonormé \Oij,  on considère les points A,  D et C définis par

\begin{center}$\vect{\text{OA}} =-2\vect{\imath} - \vect{\jmath},\: \vect{\text{OB}} = 8\vect{\imath} + 4 \vect{\jmath}$ \quad et\quad $\vect{\text{OA}} = 4\vect{\imath} + 7 \vect{\jmath}$\end{center}.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Porter ces trois points sur une figure, que l'on complétera après chaque question.

Calculer les coordonnées (ou composantes) et les normes des vecteurs $\vect{\text{AB}}, \:\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$. (La norme du vecteur $\vect{\text{AB}}$ est la distance de A à B.)

En déduire que le triangle (A, B, C) est rectangle en C.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du, milieu I du bipoint (A, B).
		\item Soit D l'image du point C par la symétrie centrale de centre I. Déterminer les coordonnées du point D.
		\item Démontrer que le quadrilatère (A, C, B, D) est un rectangle.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au rectangle (A, C, B, D).
\item Soit J le milieu du bipoint (A, C).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
		\item Démontrer que le triangle (A, J, I) est rectangle en J.
		\item Démontrer l'égalité $\vect{\text{BC}} =2 \vect{\text{IJ}}$.
		
Quelle est l'image de B dans la composée $\left(S_{\text{J}} \circ S_{\text{I}}\right)$ des symétries de centres I et J ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}