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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Nantes}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Nantes juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

Ecrire le nombre $A$ sous la forme d'une fraction la plus simple possible:

\[A =  2+ \dfrac43 \times \dfrac{- 1}{5}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On pose $B = (x + 7)^2 +3(x + 7)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $B$.
\item Factoriser $B$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le nombre $(-3)$ est-il solution de l'équation : $x^2 + 3x - 1 = 0$ ?

Justifier.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation : $5 x - 7 < - 9$.
\item Représenter les solutions sur une droite graduée (on hachurera la partie de la droite correspondant aux solutions).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

On donne ci-dessous les valeurs de quelques monnaies étrangères au mois d'octobre 1996 :

$\bullet~~100$ dollars américains valaient $515,85$ francs français ;

$\bullet~~100$ livres anglaises valaient $805,75$ francs français ;

$\bullet~~100$ marks finlandais valaient $113,18$ francs français.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En octobre 1996, Monsieur Durant a acheté une peau de renne en Finlande ; il l'a payée $180$ marks finlandais.

Quel était le prix de cette peau de renne en francs français, en octobre
1996 ? (Donner la valeur arrondie au franc.)
\item En octobre 1996, Monsieur Smith a acheté une caisse de champagne lors de son voyage en France ; il l'a payée $950$ francs français.

Quel était le prix de cette caisse de champagne en livres anglaises, en
octobre 1996 ? (Donner la valeur arrondie à la livre.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABCDEFGH est un pavé droit.

On donne :

\begin{center}AD = DC $= 3$ cm ;\quad GC $= 4$ cm ;\quad GD $= 5$ cm.\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(4.5,4)
\psframe(0.2,0.3)(2.2,2.7)%ADHE
\psline(2.2,0.3)(3.6,1.3)(3.6,3.7)(2.2,2.7)%DCGH
\psline(3.6,3.7)(1.6,3.7)(0.2,2.7)%GFE
\psline(2.2,0.3)(3.6,3.7)%DG
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.3)(1.6,1.3)(3.6,1.3)%ABC
\psline[linestyle=dashed](1.6,3.7)(1.6,1.3)(0.2,0.3)(3.6,3.7)(1.6,1.3)%FBAGB
\uput[d](1.2,0.3){3 cm}\rput{90}(3.4,2.5){4 cm}
\rput{68}(3.1,2){5 cm}\rput{33}(2.9,0.5){3 cm}
\uput[d](0.2,0.3){A} \uput[l](1.6,1.3){B} \uput[dr](3.6,1.3){C} \uput[d](2.2,0.3){D}
\uput[l](0.2,2.7){E} \uput[u](1.6,3.7){F} \uput[u](3.6,3.7){G} \uput[u](2.2,2.7){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Sur le dessin ci-dessus, les dimensions ne sont pas respectées.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume, exprimé en cm$^3$, de la pyramide GABCD.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner en vraie grandeur le triangle ADG rectangle en D.
		\item Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{AGD}}$ du triangle ADG.
		\item Calculer la valeur exacte de la longueur AG, puis en donner la valeur arrondie au millimètre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J), l'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B dont les coordonnées sont :
A$(- 2~;~3)$, B(1~;~6).
		\item Donner une équation de la droite (AB) ; aucune justification n'est demandée.
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $(D)$ d'équation $y = - 2x + 1$ ; aucune justification n'est demandée.
\item On considère le point C$(-14~;~29)$ que l'on ne cherchera pas à placer sur le dessin.

Le point C appartient-il à la droite (D) ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La figure ci-dessous est formée de triangles rectangles superposables.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(4.,2.25)
\pspolygon(0,0)(0,1.5)(2,2.25)(4,2.25)(4,0.75)(2,0)
\pspolygon(2,2.25)(4,1.5)(2,1.5)
\psline(4,1.5)(4,0.75)(0,0.75)
\psline(0,1.5)(4,1.5)
\psline(0,0.75)(4,0.75)
\psline(0,0.75)(2,1.5)(4,0.75)
\psline(2,1.5)(2,0)(0,0)(2,0.75)
\rput(1.5,1.875){1}\rput(2.5,1.875){4}
\rput(0.5,1.375){2}\rput(1.5,0.375){3}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Recopier et compléter} les phrases suivantes en complétant chacune d'elles par l'une des expressions :
\begin{itemize}
\item  translation ;
\item rotation ;
\item symétrie centrale ;
\item symétrie orthogonale.
\end{itemize}

\emph{Phrase }1 : Le triangle 2 est le transformé du triangle 1 par une ...

\emph{Phrase }2 : Le triangle 3 est le transformé du triangle 1 par une ...

\emph{Phrase }3 : Le triangle 4 est le transformé du triangle 1 par une ...

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

On considère un triangle équilatéral ABC.

Les droites (OA), (OB) et (OC) sont les trois médiatrices du triangle 
ABC.

La longueur OB est 6 cm.

La droite (OA) coupe le segment [BC] en A$'$.

On ne demande pas de reproduire la figure.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.3,-1.4)(2.3,2.7)
\pspolygon(2.3;210)(2.3;-30)(2.3;90)%ABC
\psline(1.5;30)
\multido{\n=-30+120}{3}{\psline(2.3;\n)}
\rput(1,-0.8){6cm}\rput(-1,-0.8){6cm}\rput(0.5,0.75){6cm}
\uput[ur](0,0){O} \uput[dl](2.3;210){A} \uput[dr](2.3;-30){B} \uput[u](2.5;90){C} \uput[ur](1.1;30){A$'$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'angle $\widehat{\text{OBA}}$ mesure $30\degres$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant $\sin\widehat{\text{OBA}}$ démontrer que la longueur du segment
[OA'] est 3 cm.
		\item Démontrer que la longueur du segment [BA'] est 3 3 cm. 
		\item  En déduire la longueur exacte du segment [BC].
	\end{enumerate}	
\item Soit E le point du segment [OC] tel que DE $= 2$ cm.

La parallèle à la droite (BC) passant par le point E coupe le segment [OB] en F.

Calculer les longueurs des segments [OF] et [EF].
\item Démontrer que l'aire du triangle COB est $9\sqrt 3$ cm$^2$.
\item Le cercle circonscrit au triangle ABC coupe la droite (AA$'$) en A
et en un autre point noté K.

Démontrer que le quadrilatère OBKC est un losange. 
\item Calculer l'aire du losange OBKC.
	\end{enumerate}
\end{document}