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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small juin 1983}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nice juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit les applications affines $g$ et $h$ définies par 

\[\begin{array}{l l c l}
g :& \R&\to&\R\\
&x &\longmapsto&g(x)= -5x-4\\
h :&\R&\to&\R\\
&x &\longmapsto&h(x)=3x+1.
\end{array}\]

On considère le plan muni du repère orthonormé \Oij.

On prend le centimètre pour unité. On appelle $(D)$ et $(\Delta)$ les représentations graphiques respectives de $g$ et $h$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire $(D)$ et $(\Delta)$.
		\item Calculer les abscisses des points A et B d'ordonnée 4 appartenant respectivement à $(D)$ et $(\Delta)$.

Placer A et B sur le dessin.
		\item Calculer les coordonnées de C, point d'intersection de $(D)$ et $(\Delta)$,
		\item Résoudre, dans $\R$, l'inéquation

\[\dfrac15 g(x) \leqslant 2 h(x).\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire les expressions suivantes:

\begin{center}$[g(x)]^2, \quad  [h(x)]^2$ \quad puis \quad $f(x) = [g(x)]^2 - [h(x)]^2$.\end{center}

		\item Factoriser f(x).
		\item Calculer $f(- 2), \: f\left(- \dfrac32\right)$ et $f\left(\sqrt 2 \right)$.
		\item Résoudre, dans $\R$, les équations suivantes : 
		
\begin{center}	$f(x) = 0$\qquad  et \qquad $f(x) = 15$.\end{center}

L'application $f$ est-elle bijective ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un triangle équilatéral ABC tel
que $d$(A, B)$= 4$.
		\item M étant le milieu du segment [AC], tracer la médiatrice de [AC] et démontrer qu'elle passe par B.
		
Calculer $d$(B, M).
	\end{enumerate}
\item On place le point D symétrique de A par rapport à C.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $d$(B, D).
		\item Démontrer que le triangle ABD est un triangle rectangle en B.
	\end{enumerate}	
\item La parallèle à la droite (BD) passant par C coupe la droite (BM) en O.

Calculer $\dfrac{\overline{\text{BO}}}{\overline{\text{BM}}}$, puis $d$(B, O).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point E tel que $\vect{\text{ME}} = 2\vect{\text{MA}}$.
		
Calculer $d$(M, E).
		\item Soit $\alpha$ la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{EBM}}$.
		
Calculer $\tan \alpha$.

Déterminer la valeur approchée de $\alpha$ à un degré près par défaut.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\alpha$ degrés&$\tan \alpha$\\ \hline
47 &\np{1,0724}\\ \hline
48 &\np{1,1106}\\ \hline
49 &\np{1,1504}\\ \hline
50 &\np{1,1918}\\ \hline
51 &\np{1,2349}\\ \hline
52 &\np{1,2799}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}