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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small juin 1985}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nice juin 1985 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) = (3x - 1)^2 + 2(x - 2)(3x - 1) - \left(9x^2 - 1\right).\]

\smallskip


\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f\left(10^{-1}\right)$ puis $f\left(3 + \sqrt 2\right)$.
\item Sachant que $1,41< \sqrt 2< 1,42$, en déduire un encadrement de $f\left(3 + \sqrt 2\right)$ d'amplitude 0,3.
\item Résoudre dans $\R$ : $f(x) = 0$.
\item Résoudre dans $\R \times \R$  le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x - y - 3&=&0\\
3x - y - 1 &=&0.
\end{array}\right.\]

Dans le plan muni d'un repère \Oij, construire
les droites $D_1$ et $D_2$ d'équations respectives 

\begin{center} $x - y - 3 = 0$\quad  et\quad  $3x-y-1 = 0$.\end{center}

Vérifier graphiquement les résultats du système.
\item  Résoudre graphiquement le système d'inéquations

\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&\leqslant &0\\
x - y - 3&\leqslant& 0\\
3x - y -1 &\geqslant &0.
\end{array}\right.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij, placer les points 

\begin{center}A$(- 2~;~1)$,\quad B(4~;~4), \quad C$(7~;~-2)$, \quad K(0~;~2),\quad I(1~;~0).\end{center}

\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{OC}}$.

Montrer que ces deux vecteurs sont orthogonaux puis calculer leur norme.

En déduire la nature du triangle ABC.
\item Calculer les coordonnées de E centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Soit $S$ la symétrie de centre E et le point D défini par $S$(B) = D.

Placer le point D.

Que dire du quadrilatère ABCD ? Justifier.
\item  Montrer :
\begin{description}
\item[ ] que les points A, I, C sont alignés ;
\item[ ] que les points A, K, B sont alignés ;
\item[ ] que les droites (KI) et (BC) sont parallèles.
\end{description}

En déduire que le triangle KIB est rectangle en K.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $d$(K, B): $d$(B, I); $d$(K, I) et
retrouver le résultat précédent.
		\item Si $a$ est la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{KBI}}$, quelle est la valeur approchée à $10^{-2}$ près de :
		
\[\cos a,\quad  \sin a,\quad  \tan a.\]

(On donne $\sqrt 5 \approx 2,236$.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}