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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nice juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer et donner les résultats sous la forme d'une fraction irréductible ou d'un entier relatif.

\[3- \dfrac14\:;\quad \dfrac{11}{4} + \dfrac{7}{12}\: ; \quad - \dfrac95 \times \dfrac{10}{3}.\]

\item Écrire, sans radical au dénominateur, le réel $\dfrac{1}{\sqrt 5 + 1}$.

En déduire la valeur de $\dfrac{\sqrt 5}{4} - \dfrac{1}{\sqrt 5 + 1}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Deux nombres réels $r$ et $s$ sont tels que : 

\[r^2+ s^2 = 208 \quad \text{et}\quad  r \times s = 58.\]

Développer puis calculer $(r+s)^2$. En déduire $r + s$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On se propose de calculer $h(x) = \sqrt{x + 3}$ pour certaine
valeurs du réel $x$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $h(- 2)$ ; $h(6)$.
\item Prouver que $h(147) = 5\sqrt 6$.
\item Peut-on calculer $h( - 5)$ ? Pourquoi ?
Pour quelles valeurs de $x$ peut-on calculer $h(x)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

Parmi les formats rectangulaires de papier vendu dans le commerce, deux d'entre eux désignés par A$_2$ et A$_4$ ont, en millimètres les dimensions suivantes :

pour A$_2$ : 420 sur 594 ;

pour A$_4$ : 210 sur 297. 

(Voir dessin page suivante.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver le nombre réel $k$ tel que  :

\[\vect{\text{OB}} = k\vect{\text{OA}}\quad \text{et}\quad  \vect{\text{OC}} = k\vect{\text{OD}}.\]

En déduire que les vecteurs $\vect{\text{OM}}$ et $\vect{\text{OR}}$ sont colinéaires et que M est un point de la droite (OR).
\item Placer le point S du segment [OR] tel que OS $= \dfrac34$ OR.

Dessiner le rectangle OPSQ pour lequel P est un point du segment [OB). Ce rectangle représente le format A$_3$. 

Calculer les dimensions de ce troisième format.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5.8)
\psframe(0.2,0.2)(7.7,5.3)
\psline(0.2,2.7)(3.95,2.7)(3.95,0.2)
\uput[dl](0.2,0.2){O} \uput[d](3.95,0.2){A} \uput[dr](7.7,0.2){B} \uput[ul](0.2,5.3){C}
\uput[l](0.2,2.7){D} \uput[ur](3.95,2.7){M} \uput[ur](7.7,5.3){R} 
\rput(0.7,4.8){A$_2$}\rput(0.7,2.4){A$_4$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textbf{Problème}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne $A(x)=(2x+1)\left(\dfrac72 + \dfrac12 x\right)  - x(2x + 1)$ où $x$ est
un nombre réel.

Factoriser $A(x)$.

Résoudre dans $\R$, l'équation $A(x) = 0$.
\item Résoudre dans $\R \times \R$, le système $\left\{\begin{array}{l c l}
2x - y + 1&=&0\\
x + 2y -7 &=&0.
\end{array}\right.$
\item Dans un repère orthonormé \Oij, construire les droites $\left(\Delta_1\right)$ et $\left(\Delta_2\right)$ d'équation respective $y = 2x + 1$ et
$y = \dfrac72 - \dfrac12 x$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit E le point d'intersection de $\left(\Delta_1\right)$ et $\left(\Delta_2\right)$. 
		
Montrer que la question 2. permet de trouver les coordonnées de E.
		\item Démontrer que $\left(\Delta_1\right)$ et $\left(\Delta_2\right)$ sont perpendiculaires.
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de $\left(\Delta_1\right)$ avec l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}