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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Nice et Corse}
\lfoot{\small septembre 1976}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nice et Corse septembre 1976 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{Exercice I}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, construire les droites d'équations
\begin{center}$\left(D_1\right)\quad y = \dfrac43 x - \dfrac13$ \quad et\quad $\left(D_2\right)\quad y = 3x - 2$\end{center}
\item $\left(D_3\right)$ est la droite d'équation $x = \dfrac52$.

Calculer les coordonnées du point P, intersection de $\left(D_1\right)$ avec $\left(D_3\right)$.
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système d'équation

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac43 x - y&=&\dfrac13\\
3x - y &=&2.
\end{array}\right.\]

En déduire les coordonnées du point d'intersection
de $\left(D_1\right)$ avec $\left(D_2\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{Exercice II}
\end{center}

Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, placer les points A de coordonnées $(- 3~;~5)$; B(1~;~3) et C(0~;~6).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées du point I milieu de (A, B).
\item Démontrer que $\vect{\text{AB}}$ est orthogonal à $\vect{\text{IC}}$.
\item Calculer les coordonnées du point D tel que
(A, C, B, D) soit un parallélogramme.
\item Que représente la droite (IC) pour le bipoint (A, B) ?

Montrer que (A, C, B, D) est un carré.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{Exercice II}
\end{center}

Le plan euclidien (P) est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

On donne les points I de coordonnées (1~;~0), \: J(0~;~1); I$'(- 1~;~0)$ et E
$\left(\dfrac12~;~0\right)$.

Soit $(\mathcal{C})$ le demi-cercle de diamètre [I$'$I] contenant J.

$X$ est l'axe de repère (O,  I) ; F le point du demi-cercle qui se projette orthogonalement en E sur l'axe $X$; $Y$ est l'axe de repère (O, F).


\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le rapport de projection orthogonale associé au couple d'axes $(X, Y)$
\item B est le point de l'axe $Y$ d'abscisse 3, dans le repère (O, F).

Il se projette orthogonalement en A sur l'axe $X$.

Calculer OA.
\item $\alpha$ est l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{XOY}}$ (l'unité est le degré).

Calculer $\cos \alpha, \: \sin \alpha$ et $\tan \alpha$.

Quelle est la valeur de $\alpha $ ?
\end{enumerate}
\end{document}