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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Niger}
\lfoot{\small juin 1981}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Niger juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $p$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[p(x) = 9(x - 1)^2 - (4x - 1)^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Mettre $p(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné suivant les puissances croissantes de x.
		\item Mettre $p(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
		\item Calculer $p\left(\sqrt 2 + 2\right)$ puis encadrer $p\left(\sqrt 2 + 2\right)$ à $10^{-1}$ près $\left(\sqrt 2 \approx 1,414\right)$.
	\end{enumerate}	
\item Soit la fonction $f$ définie par

\[f(x) = \sqrt{(- x - 2)(7x - 4)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $(-x - 2)(7x - 4)$.
		\item En déduire le domaine de définition de $f$.
	\end{enumerate}
\item Soit l'application $h$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[h(x)= |2x+4| + x + 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Simplifier l'écriture de $h(x)$ suivant les différentes valeurs de $x$.
		\item Représenter graphiquement $h$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points

\begin{center}A$(-3~;~1)$,\qquad  B(7~;~1) \quad et\quad  C$(-1~;~5)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances suivantes : AB, AC et BC. 
		
Que peut-on en déduire pour le triangle (A, B, C) ?
		\item Calculer $\sin \widehat{\text{EAB}}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la droite (BC).
		\item Déterminer l'équation de $(\Delta)$ la droite perpendiculaire à (BC) passant par I le milieu de (A, B).
	\end{enumerate}
\item Soit M$(2~;~y)$, avec $y$ appartenant à $\R$ tel que
(A, M, B) soit un triangle rectangle en M. Calculer $y_{\text{M}}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de D symétrique de
C par rapport à I.
		\item Donner, en se justifiant, la nature précise de
(A, D, B, C).
		\item Montrer que A, B, C, D, M sont sur un même cercle dont on précisera le centre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}