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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet
 Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\[5pt]Décembre 2005}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{$4$ points sur $40$ sont attribués à la rédaction et à la présentation}

\vspace{0,25cm}


\textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Dans cette partie, les calculs devront être détaillés.}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et $B$ et donner les résultats sous forme
  fractionnaire la plus simple possible:

\begin{multicols}{2}    
\[\text{A}=4 - 4\div \dfrac{16}{3}\]
\[\text{B} = \dfrac{14\times 10^5 \times 35 \times 10^{-3}}{21 \times 10^3}\]
  \end{multicols}

\item Écrire $C$ sous la forme $a \sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des
  entiers, $b$ étant le plus petit possible :
  \[
  \text{C} = 2\sqrt{32} - \sqrt{5} \times \sqrt{10}
  \]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Soit $D = (x - 3)(3x - 1) - (3x - 1)^2$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $D$
\item Développer et réduire $D$.
\item Résoudre l'équation $(3x-1)(x+1)=0$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Voici les résultats d'un sondage effectué dans une classe de
troisième concernant les moyens de transport utilisés par ces élèves
pour venir au collège.

Recopier et compléter le tableau suivant puis construire un
diagramme circulaire de $3$\ cm de rayon :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Voiture&Bus&À pied&Booster&total\\
\hline
Fréquence&45\%&25\%&20\%&10\%&\\
\hline
Angle&&&&&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD des nombres \np{1547} et \np{1729}.
\item Écrire sous forme fractionnaire irréductible la fraction
  suivante : $\dfrac{\np{1547}}{\np{1729}}$
\end{enumerate}

\pagebreak

\textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points)}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Le plan est muni d'un repère (O, I, J).

\emph{L'unité de longueur est le centimètre}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un tel repère, placer les points : A$(3~;~- 2)$ ; B(1~;~2)
  ; C$(- 3~;~0)$.
\item Calculer la valeur exacte de AB.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que BC$ =\sqrt{20}$, en déduire que ABC est un  triangle isocèle.
		\item Sachant de plus que AC$=\sqrt{40}$, prouver que ABC est un  triangle rectangle.
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment
  [AC]. Placer M.
\item Construire le point D symétrique du point $B$ par rapport au
  point $M$.
  
Calculer les coordonnées du point D.
\item Prouver que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
\item En déduire la nature exacte du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le millimètre.}

Soit ABCH un trapèze rectangle en A et H.

(HB) et (BC) sont des droites perpendiculaires.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,3.5)
\pspolygon(0,0)(6,0)(4.8,2.4)(0,0)(0,2.4)(4.8,2.4)
\uput[ul](0,2.4){A} \uput[ur](4.8,2.4){B} \uput[dr](6,0){C} \uput[dl](0,0){H}
\uput[l](0,1.2){36} \uput[u](2.4,2.4){48}
\psframe(0,0)(0.2,0.2) \psframe(0,2.4)(0.2,2.2) \psline(4.68,2.35)(4.75,2.22)(4.85,2.27)
\end{pspicture}
\end{center}
(Ce schéma n'est donné qu'à titre indicatif)

\begin{enumerate}
\item Construire la figure sachant que AH = 36 et AB = 48.
\item Calculer HB. 
\item Calculer $\cos \widehat{\text{AHB}}$
\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{AHB}}$, puis de l'angle  $\widehat{\text{BHC}}$ arrondies à 1~\degres{} près.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Un club de sport propose à ses clients trois types de tarif :

\begin{itemize}
\item Tarif 1 : le paiement de \np{1000} F pour chaque séance.
\item Tarif 2 : le paiement d'une carte mensuelle de \np{4000} F auquel  s'ajoute 500 F par séance suivie.
\item Tarif 3 : un abonnement mensuel de \np{11500} F.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Monsieur Bob Iscotto prévoit de participer à $10$ séances par
  mois.
  
Calculer sa dépense avec chacun des tarifs.
\item Monsieur Ray Gimesseq ne sait pas combien de séances il suivra
  dans le mois.
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $x$ le nombre de séances suivies dans le mois.
  
Exprimer en fonction de $x$, les prix $P_1,~ P_2,~ P_3$ à payer dans   chacun des trois cas.
		\item Tracer sur papier millimétré, dans un repère orthogonal, les
  représentations graphiques des fonctions $t_1$ et $t_2$ telles que :
  
\[t_1(x)= \np{1000}x \  ;\  t_2(x) = 500x + \np{4000}.\]

On prendra \textbf{$1$\ cm pour $2$ séances} en abscisse et
  \textbf{$1$\ cm pour \np{1000}} F  en ordonnée.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système : $\left\{ 
      \begin{array}{l}
        y= \np{1000}x\\
        y=500x + \np{4000}
      \end{array}\right.$
		\item Recopier et compléter la phrase suivante : \og Graphiquement, la solution de ce système correspond à l'endroit où \ldots \ldots \fg{}.
		\item À partir de combien de séances, le tarif 2 est-il plus
  avantageux que le tarif 1 ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $500x + \np{4000} \geqslant \np{11500}$
		\item À partir de combien de séances, le tarif 3 est-il plus
  avantageux que le tarif 2 ?
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter les phrases suivantes :

\og De zéro à \ldots séances, M. Ray Gimesseq devrait choisir le tarif
\ldots \fg{}.

\og De \ldots  à \ldots séances, M Ray Gimesseq devrait choisir le
tarif \ldots \fg{}.

\og À partir de \ldots  séances, M. Ray Gimesseq devrait choisir le
tarif \ldots \fg{}.

\medskip

M. Ray Gimesseq vous remercie pour vos conseils !
\end{enumerate}
\end{document} 