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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Orléans-Tours}
\lfoot{\small juin 1983}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans-Tours juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ l'application, de $\R$ dans $\R$, définie pour tout réel $x$ par

\[f(x) = 12x^2 - 12x - 5.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f\left(\sqrt 3\right)$.
		\item Si $1,732< \sqrt 3 < 1,733$, déterminer un encadrement de $f\left(\sqrt 3\right)$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\left(2 - 3\sqrt 3\right)^2$.
		\item Démontrer que $2 < 3\sqrt 3$.
		\item Déduire de a. et b. la valeur de $\sqrt{f\left(\sqrt 3\right)}$.
	\end{enumerate}	
\item Simplifier le plus possible l'expression

\[Q = \dfrac{f\left(\sqrt 3\right) - 7}{48 - 36\sqrt 3},\]

puis fournir une expression de $Q$ de la forme

\[\dfrac{a + b\sqrt 3}{11}\]

avec $a$ et $b$ nombres entiers relatifs.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Exercice 2. - Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité le centimètre) on donne les points

\begin{center}A(3~;~2),\qquad  B$(-1~;~4)$\quad et \quad C$(-5~;~-4)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Calculer $d$(A, B); $d$(A, C) ; $d$(B, C).

En déduire la nature du triangle ABC.
\item Soit D l'image de C dans la translation du vecteur $\vect{\text{BA}}$.

Construire le point D et calculer ses coordonnées.

Quelle est la nature du quadrilatère BADC ?
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite (AC).
\item Soit la droite $(\Delta)$ dont une équation cartésienne est

\[3x - 4y - 6 = 0.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de ses points de rencontre avec les axes
		\item Tracer $(\Delta)$ dans le repère \Oij.
		\item Démontrer que $(\Delta)$ est parallèle à (AC).
	\end{enumerate}	
\item Soit l'équation $4x + 3y - 8 = 0$.

Démontrer qu'il s'agit d'une équation cartésienne de la hauteur du triangle ABC passant par B.
\end{enumerate}
\end{document}