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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Orléans}
\lfoot{\small juin 1967}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression
\[E(x) = \dfrac{\left(x^2 + 4x + 4\right)(5 + x)}{\left(25 - x^2\right) (x + 2)}.\]
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on :
	\begin{enumerate}
		\item $E(x) = 0$ ;\quad $E(x) = 1$ ;
		\item $E(x) < - 1$ ?
	\end{enumerate}
\item Dans un système d'axes rectangulaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, la longueur des vecteurs unitaires étant 1 centimètre, construire les droites $(D)$ et $(D')$ d'équations respectives 
\begin{center}$y = x + 2$ \qquad et \qquad $y = 5 - x$.\end{center}

Montrer que ces droites sont perpendiculaires.

Retrouver sur le graphique les résultats du 2. a.
\item La droite $(D)$ coupe $y'\text{O}y$ en A. La droite $(D')$ coupe v en B.

Trouver, à 1 millimètre près par défaut, la longueur du segment [AB], puis former l'équation de la droite (AB).

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un cercle de centre O, de rayon $R$. Construire un rayon [OJ], puis la médiatrice de [OJ], qui coupe le cercle en A et B et le segment [OJ] en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère AOBJ ?
\item On trace la tangente en A au cercle, qui coupe les prolongements de [OJ] en P et de [BJ] en Q.

Montrer que les triangles AQB et PAI sont égaux.
\item Calculer en fonction de $R$ la longueur des segments [AI], [PI], [PJ], [PA].
\item Montrer que le quadrilatère AIJQ est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre et le rayon en fonction de $R$.

Quelle est, en fonction de $R$, la puissance de P par rapport à ce cercle ?
\end{enumerate}
\end{document}