\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P{}.C.},
pdftitle = {juin 1971},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Orléans}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Orléans juin 1971~\decofourright}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner l'expression suivante : 

\[A(x) = (2x - 1)(3x + 2) - (x + 2)(4x - 2).\]

\item Décomposer l'expression $A(x)$ donnée en un produit de
deux facteurs du premier degré.
\item Calculer la valeur numérique de $A(x)$ pour 

\[x = 0\quad  ;\quad x = \dfrac{1}{2}\quad ;\quad  x = (-1) \quad ;\quad  x = 2.\]

On indiquera les calculs sur la feuille.
\item Soit la fonction rationnelle :

\[F(x) = \dfrac{(2x - 1)(3x + 2) - (x + 2)(4x - 2)}{4x^2 - 1}\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner les conditions d'existence de $F(x)$.
		\item Simplifier cette fraction. Soit $F'(x)$ la fraction simplifiée.
		
Pour quelle valeur de $x$,\,  $F'(x)$ est-elle nulle ?
		\item Calculer le plus rapidement possible $F(x)$ pour  $x = 3$ (justifier).
	\end{enumerate}
\item Construire sur le même graphique les droites d'équations :

\[y = x- 2 \quad \text{et}\quad  y = 2x + 1.\]

Résoudre graphiquement $F'(x) = 1$.
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle rectangle ABC connaissant l'hypoténuse[BC] telle que 

BC $= 12$~cm, et le côté [AB] tel que AB $= 4$~cm.

Expliquer la construction,
\item Calculer AC et la longueur de la hauteur [AH].
\item On trace le cercle de diamètre [AH] qui coupe (AB) en D et (AC) en E.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ADHE ?
		\item Démontrer que les triangles ADE et ABC sont semblables ; en déduire la relation $\overline{\text{AB}} \cdot  \overline{\text{AD}} = \overline{\text{AC}} \cdot \overline{\text{AE}}$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère BDEC est inscriptible.
\item M désignant le milieu du segment [BC], démontrer que (AM) est perpendiculaire à (DE).
\end{enumerate}
\end{document}