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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Orléans--Tours juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit l'expression algébrique suivante:
\[A(x) = 3(x - 4)^2 - x^2 + 16 - (4 - x)(2x + 7).\]

\begin{enumerate}
\item Effectuer les opérations et donner à $A(x)$ la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Factoriser $A(x)$.
\item On considère la fraction 
\[F(x)  = \dfrac{A(x)}{2x^2 - 32}.\]
Simplifier cette fraction et trouver les valeurs numériques de $F(x)$ pour $x = \dfrac94$ et $x = \dfrac13$.
\item Déterminer $x$ pour que cette fraction soit égale à l'unité.
\item Retrouver ce dernier résultat en résolvant graphiquement le système suivant:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
5y &=& 4x - 9,\\
y &=& 2x + 8.
\end{array}\right.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de diamètre [AB],de centre O et de rayon $R$.

Le point C étant le milieu de [OB] et M le milieu de l'un des arcs $\wideparen{\text{AB}}$, on considère le point P appartenant à la demi-droite [AM$x$) et tel que
\begin{center}AP $\cdot $ AM = AC $\cdot $ AB.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles (ABM) et (APC) sont semblables et que le quadrilatère (BCMP) est inscriptible dans un cercle.

En déduire une construction du point P.
\item La droite (CP) coupe le cercle donné en E et en F (E appartenant à l'arc $\wideparen{\text{AME}}$).

Démontrer l'égalité des arcs $\wideparen{\text{AE}}$ et $\wideparen{\text{AF}}$ et la similitude des triangles (AFP) et (AMP).
\item Calculer, en fonction de $R$, la mesure des segments [AC], [AM], [AP] et [AF].
\end{enumerate}
\end{document}