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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Orléans-Tours}
\lfoot{\small juin 1981}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans-Tours juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soient $f$ et $g$ les applications affines définies par 

\[f(x)= -5x + 2,\qquad  g(x) = 2x - 3.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé du plan, tracer les représentations graphiques $(D)$ et $\left(D'\right)$ de $f$ et $g$.
\item Montrer que $(D)$ et $\left(D'\right)$ n'ont qu'un point commun K. 

Déterminer par le calcul les coordonnées de K.
\item Dans chacun des cas suivants, trouver les valeurs réelles de $x$ vérifiant :
	\begin{enumerate}
		\item $|f(x)| = \sqrt 2 - 1$ ;
		\item $[f(x)]^2 = [g(x)]^2$ ;
		\item $f(x) \cdot g(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $g \circ f$ est une application affine
(on rappelle que $(g \circ f)(x) = g[f(x)]$).
		\item Peut-on trouver une valeur réelle de $x$ telle que

\[(g \circ f)(x) = (f \circ g)(x) ?\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} placer les points

\begin{center} A(2~;~1),\qquad  B$(0~;~-3)$,\qquad C(0~;~2).\end{center}

\item Exprimer en fonction de $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$ les vecteurs $\vect{\text{AB}}, \:\vect{\text{AC}},\: \vect{\text{CB}}$.
\item Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item Soit $u$ la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\sin u$.
		\item Sachant que $2,236 < \sqrt 5 < 2,237$, donner une valeur approchée de $u$ à $1\degres$  près par défaut.
	\end{enumerate}
\item Soit B$'$ l'image de B par la symétrie de centre A.

Déterminer les coordonnées de B$'$.
\item Soit C$'$ l'image de B$'$ par la translation de vecteur $\vect{\text{CB}}$. 

Montrer que C' est symétrique de C par rapport à A.
\item Préciser la nature du quadrilatère (B, C, B$'$, C$'$).
\end{enumerate}
\end{document}