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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Orléans-Tours}
\lfoot{\small juin 1987}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans-Tours juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A =3(1 - 0,8)^2\:; \qquad B = \dfrac32 - \dfrac23 \times \dfrac53$.

(On donnera $B$ sous forme de fraction irréductible.)
\item Lorsque $a = - 1$ et $b = \dfrac17$, calculer la valeur de $c = a - \dfrac 2b$.
\item Soit $D = 7\sqrt 33+ \sqrt{75} -2 \sqrt{243}$.

Écrire $D$ sous la forme $p\sqrt 3$, $p$ étant un entier relatif.
\item Soit $E = \left(3\sqrt 2 - 5\right)\left(4 - \sqrt 2\right)$.

Écrire $E$ sous la forme $m + n\sqrt 2$,\: $m$ et $n$ étant des entiers relatifs.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $P(x) = 3(4x-3)^2 -2(4x - 3)(4x + 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $P(x)$.
\item Écrire $P(x)$ sous forme de produit de facteurs du I" degré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un terrain rectangulaire a un périmètre de 5 km. 

La longueur mesure $100$~m de plus que la largeur.

On désigne par $x$ la mesure en mètre de la largeur de ce terrain.

L'unité choisie étant le m,

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ la longueur $L(x)$ de ce terrain.
\item Déterminer alors les dimensions du terrain.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.
(L'unité est le cm.)

On considère les points A(6~;~5), B$(2~;~-3)$, C$(-4~;~0)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB, AC et BC.
\item En déduire la nature du triangle ABC.
\item Calculer l'aire et le périmètre du triangle ABC.
\item Donner la valeur du sinus de $\widehat{\text{ACB}}$.

En déduire une valeur approchée à 1 degré près de $\widehat{\text{ACB}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit un triangle ABC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points E et F tels que :

\begin{center}$\vect{\text{BE}} =\vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}$\qquad  et \qquad $\vect{\text{CF}} = \vect{\text{AB}}$.\end{center}
\item Justifier que ABCE est un parallélogramme.
\item Démontrer que les points E et F sont symétriques par rapport au point C.
\item Placer le point G tel que $\vect{\text{CG}} = \dfrac43 \vect{\text{CB}}$.

La droite (GE) coupe la droite (AB) en J.

Évaluer le rapport : $\dfrac{\text{EJ}}{\text{EG}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Un train parti de Gien à $9$~heures se dirige vers Paris en passant par Montargis. Le graphique (page suivante) dont vous disposez, représente la distance du train à Gien en fonction du temps en minutes, écoulé depuis son départ.
(L'unité de distance est le km.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item En lisant sur le graphique, répondre aux questions suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item À quelle distance de Montargis se trouve le train 1h 15 après son départ de Gien ?
		\item À quelle heure le train se trouvera-t-il à 140 km de Gien ?
		\item Où se trouve le train 30 minutes après le départ de Gien ?
		
Que se passe-t-il pour le train dans le quart d'heure suivant?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur une feuille de papier millimétré, reproduire le graphique donné :
		
\begin{itemize}
\item en abscisse, 1 cm représentera 5 minutes,
\item en ordonnée, 1 cm représentera $10$~km.
\end{itemize}
		\item Un deuxième train part de Gien à $9$~h~30, à destination de Paris; il roule à $120$~km/h.
		
Calculer sa vitesse en km par minute.
 
En désignant par $t$ le temps en minutes écoulé depuis 9 heures, démontrer que la distance $y$ (en km) parcourue par ce second train s'exprime par : $y =2 (t - 30)$ pour $t > 30$.

Sur le graphique suivant, représenter alors cette fonction du temps.
		\item Déterminer graphiquement à quelle heure et à quelle distance de Gien le deuxième train rejoindra le premier. Justifier.
	\end{enumerate}
\item Soient les points: A(45~;~40), B(105~;~120), C(30~;~0), D(90~;~120).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (AB) puis de la droite (CD).
		\item Retrouver par le calcul les résultats de la question 2. b.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{landscape}
\psset{xunit=0.125cm,yunit=0.0625cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-5,-5)(140,170)
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\uput[r](0,40){Montargis}\uput[r](0,160){Paris}\rput{45}(-4,-5){Gien}
\end{pspicture}
\end{landscape}
\end{center}
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