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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Orléans--Tours}
\lfoot{\small juin 1992}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans--Tours juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants (ne pas donner de valeur approchée).

\[A = \sqrt 2 + 3\sqrt 2 ;\quad B = \dfrac12 + \dfrac13\:; \quad C = \dfrac49 : 2 ;\]

\[D = 10^3 \times 10^{-2} ;\quad E = 15^3 : 15^4.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

Simplifier les expressions suivantes 

\[\begin{array}{l l}
F = 5x^2 - x^2 \:;& G = 3a \times 6a \:;\\
H = (x + 2)+(x - 3) \:;& I = -5(x - 2).
\end{array}\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression 

\[J = (2x - 5)^2.\]
\item Factoriser l'expression

\[K = 9x^2 - 25.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Représenter sur une droite graduée les solutions de l'inéquation

\[2x - 3 < 5x + 6.\]

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Trouver la valeur de $x$ et celle de $y$ qui vérifient

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + 2y &=& 4\\
3x + y &=& - 3.
\end{array}\right.\]

\medskip

\textbf{Exercice 6}

\medskip 

Jean achète $3$ cahiers et $5$ livres de poche pour $95$ F{}.

Sa sœur achète 2 cahiers et 6 livres de poche pour $106$ F{}.

Ecrire le système d'équations qui permettrait de trouver le prix d'un cahier et celui d'un livre de poche.
(Ne pas résoudre le système).

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip 

Observer la figure, recopier et compléter les six phrases suivantes (ne pas justifier).

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(14,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psdots(5,7)(9,5)(9,9)(13,7)(1,9)(13,3)(9,1)(5,3)
\uput[ul](5,7){A} \uput[ur](9,5){B} \uput[ur](9,9){C} \uput[ur](13,7){D}
\uput[ul](1,9){E} \uput[dr](13,3){F} \uput[dr](9,1){G} \uput[dl](5,3){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'image du point B par la translation de vecteur $\vect{\text{DC}}$ est \ldots
\item Le symétrique du point B par rapport au point A est \ldots.
\item $\vect{\text{BA}} + \vect{\text{BD}} = \ldots\ldots$
\item $\vect{\text{BH}} + \vect{\text{HA}} = \ldots\ldots$
\item Le quadrilatère BDFG est un \ldots\ldots
\item Le cercle de centre B et de rayon AB passe par les points \ldots\ldots
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

Construire un rectangle ABCD de centre O, tel que AB $= 4,8$ cm et BC $= 3,6$ cm.

Placer le point M milieu du côté [BC].

Prouver que les droites (OM) et (BC) sont perpendiculaires.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un cône de révolution de hauteur 6 dm a pour base un disque de rayon $2,5$~dm.

Trouver en dm$^3$ son volume arrondi au centième.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un technicien forestier relève la hauteur de \np{2000} conifère plantés quelques années plus tôt.

Il rassemble les données, regroupe les tailles par intervalles de $20$~cm et réalise le diagramme suivant :

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.012cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-30)(17,625)
\multido{\n=0.0+0.5}{35}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,625)}
\multido{\n=0+50}{13}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(17,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=200]{->}(0,0)(0,0)(17,625)
\uput[d](14,-20){taille en cm}
\uput[r](0,610){Effectif}
\psframe(1,0)(4,550)\uput[d](2.5,0){$40 \leqslant t < 60$}
\psframe(4,0)(7,500)\uput[d](5.5,0){$60 \leqslant t< 80$}
\psframe(7,0)(10,450)\uput[d](8.5,0){$80 \leqslant t< 100$}
\psframe(10,0)(13,350)\uput[d](11.5,0){$100 \leqslant t< 120$}
\psframe(13,0)(16,150)\uput[d](14.5,0){$120 \leqslant t< 140$}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

Construire un tableau faisant apparaître les effectifs correspondants à chaque intervalle et les fréquences associées en pourcentage.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Un bac a la forme d'un prisme droit dont la base ABCD est
un trapèze isocèle.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5.5,2.8)
%\psgrid
\uput[d](0.8,0.2){A}\uput[l](0.2,1.1){B}\uput[r](3.4,1.1){C}\uput[d](2.9,0.2){D}
\pspolygon(0.2,1.1)(0.8,0.2)(2.9,0.2)(3.4,1.1)%BADC
\psline(2.9,0.2)(4.8,1.3)(5.3,2.3)(3.4,1.1)%D??C
\psline(5.3,2.3)(2.1,2.3)(0.2,1.1)%??B
\psline[linestyle=dashed](0.8,0.2)(2.7,1.3)(4.8,1.3)
\psline[linestyle=dashed](2.7,1.3)(2.1,2.3)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

La face avant est représentée par la figure ci-dessous. On donne :

AB $= 50$ cm, AD $= 100$ cm, AE $= 40$ cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6.8,2.4)
%\psgrid
\uput[d](1.4,0.2){A}\uput[l](0.2,1.8){B}\uput[r](6.6,1.8){C}\uput[d](5.4,0.2){D}
\uput[u](1.4,1.8){E}\uput[u](5.4,1.8){F}
\pspolygon(1.4,0.2)(5.4,0.2)(6.6,1.8)(0.2,1.8)%ADCB
\psline(1.4,0.2)(1.4,1.8)%AE
\psline(5.4,0.2)(5.4,1.8)%DF
\psframe(1.4,0.2)(1.6,0.4)\psframe(5.4,0.2)(5.2,0.4)
\psframe(1.4,1.8)(1.6,1.6)\psframe(5.4,1.8)(5.2,1.6)
\psline(0.7,1.7)(0.9,1.9)\psline(5.9,1.7)(6.1,1.9)
\psdots(0.8,1)(6,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie I.}

\medskip

On se propose d'étudier les dimensions de la face avant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la longueur BE est $30$ cm.
\item En déduire la longueur BC.
\item Trouver la valeur de l'angle $\widehat{\text{BAE}}$ (arrondir le résultat au degré).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II.}

\medskip

On verse de l'eau dans ce bac.

La surface de l'eau est représentée par le segment [GJ].

On suppose que le segment [GJ] est parallèle au segment [BC].

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6.8,2.4)
\uput[d](1.4,0.2){A}\uput[l](0.2,1.8){B}\uput[r](6.6,1.8){C}\uput[d](5.4,0.2){D}
\uput[u](1.4,1.8){E}\uput[u](5.4,1.8){F}
\pspolygon(1.4,0.2)(5.4,0.2)(6.6,1.8)(0.2,1.8)%ADCB
\psline(1.4,0.2)(1.4,1.8)%AE
\psline(5.4,0.2)(5.4,1.8)%DF
\psframe(1.4,0.2)(1.6,0.4)\psframe(5.4,0.2)(5.2,0.4)
\psframe(1.4,1.8)(1.6,1.6)\psframe(5.4,1.8)(5.2,1.6)
\psline(0.5,1.4)(6.3,1.4)
\uput[l](0.5,1.4){G}\uput[r](6.3,1.4){J}
\uput[dr](1.4,1.4){H}\uput[dl](5.4,1.4){I}
\rput(3.4,0.75){\blue eau}
\end{pspicture}
\end{center}


\medskip

On exprimera toutes les dimensions en centimètres.

La hauteur HA de l'eau est inconnue. On pose HA $= x$ ($x$ est donc un nombre compris entre 0 et 40).

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la propriété de Thalès dans le triangle ABE démontrer que
GH $= 0,75x$.
\item En déduire GJ en fonction de $x$.
\item Dans un repère orthogonal tel que sur l'axe des abscisses 1 cm représente 5 unités et sur l'axe des ordonnées 1 cm représente $10$ unités, tracer la droite d'équation 

$y = 1,5x + 100$.
\item On se propose de déterminer s'il existe une hauteur $x$ de liquide donnant au segment [GJ] une longueur de $148$ cm.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la solution à cette question en lisant sur le graphique précédent.
		\item Retrouver par le calcul cette hauteur $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}