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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Orléans septembre 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soient, sur un système de deux axes de coordonnées rectangulaires, deux points, 
\begin{center}A(5~;~3)\qquad  et\qquad  B$(- 3~;~6)$. \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite AB en prenant le centimètre comme unité et trouver son équation.
\item La droite (AB) coupe $y'y$ en C.

Quelles sont les coordonnées de C ?

Construire la droite (AD) (D point de rencontre avec l'axe des ordonnées) de façon que le triangle ACD soit isocèle (AC = AD).

Calculer l'ordonnée de D et déterminer l'équation de la droite (AD).
\item Tracer la droite AE (E point de rencontre avec l'axe des ordonnées) de manière que le triangle ACE soit rectangle (deux cas).

Trouver l'équation de (AE) dans chaque cas.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soient un cercle de rayon $R$, un diamètre [AB] et un point C sur le prolongement de [BA] tel que CA $= R$.

En C et B, on élève les perpendiculaires $y'Cy$ et $x'Bx$ à
la droite (AB), puis de C on mène la tangente (CT) au
cercle (T point de contact).

(CT) coupe B$x$ en B$'$ ; (BT) coupe C$y$ en C$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur de l'angle $\widehat{\text{TCO}}$.

Démontrer que le triangle CTB est isocèle et que le quadrilatère BB$'$C$'$C est un rectangle.
\item On trace C$'$A et B$'$O, qui se coupent en M.

Démontrer que M est sur le cercle et que le triangle MC$'$B$'$ est un triangle équilatéral.
\item Le prolongement de [B$'$M] coupe C$y'$ en F.

Démontrer que les triangles CTB et B$'$CF sont semblables.

Calculer leur rapport de similitude, ainsi que les dimensions du triangle BCF, en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}