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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Orléans-Tours}
\lfoot{\small septembre 1987}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans-Tours septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par :

\[f(x) =(x - 5)^2 - (2x - 1)^2\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Mettre $f(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $(3x - 6)(- x - 4) = 0$.
\item Soit $g(x)= - 3x^2 - 6x + 24$. 

Calculer $g\left(\dfrac32\right)$ et $g\left(\sqrt 2\right)$.
\item  On donne $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$. En déduire un encadrement
de $g\left(\sqrt 2\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un médicament qui coûte $90$~F m'était remboursé à $70$\,\%.

Quel était le montant du remboursement ?

Les taux de remboursements ont diminué, maintenant je ne touche plus que $40,50$~F{}.

Quel est le nouveau taux de remboursement ?

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points M, R, L, tels que : 

\[\vect{\text{OM}} =6 \vect{\imath} + \vect{\jmath},\qquad \vect{\text{OR}} = 4\vect{\jmath}, \qquad \vect{\text{OL}} = 3\vect{\imath} - 5\vect{\jmath}.\]

\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{RM}}$ et $\vect{\text{ML}}$ et en déduire que ces vecteurs sont orthogonaux.
\item Calculer les distances RM et ML.
\item Quelle est la nature du triangle RML ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit un triangle ACH rectangle en H tel que AC $= 6$ et CH $= 3$ (on pourra choisir le centimètre pour unité pour faire la figure).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AH.
\item Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{ACH}}$.

En déduire la valeur en degrés de la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACH}}$.
\item Soit K le point du segment [CH] tel que CK $= 2$. La parallèle à la droite (AH) passant par K coupe le segment [AC] en F.

Calculer CF et FK.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

A 8 h 45 un piéton part d'une ville A pout-aller vers une ville B située à $20$~km de A

\begin{center}
\psset{xunit=0.03cm,yunit=0.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-20,-5)(320,24)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=60,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(320,24)
\psline[linewidth=1.3pt](0,0)(150,10)(180,10)(300,20)
\psline[linestyle=dashed](300,0)(300,20)(0,20)
\psline[linestyle=dashed](180,0)(180,10)(0,10)
\psline[linestyle=dashed](150,0)(150,10)
\uput[u](305,0){minutes}\uput[r](0,23){kilomètres}
\rput(0,-3){8 h 45}
\end{pspicture}
\end{center}

La distance parcourue est fonction du temps et est représentée sur le graphique. (Temps en abscisses comptés à partir de 8~h~45 ; distances en ordonnées.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire le graphique sur papier millimétré en prenant en abscisses 1cm pour 1/4 d'heure, en ordonnée $1$~cm pour $2$~km.
		\item Le piéton s'arrête-t-il en cours de route? Si oui, entre quelle heure et quelle heure, et à quelle distance de A ?
	\end{enumerate}
\item À quelle distance de A se trouve-t-il après 1 heure de marche? En déduire sa vitesse en krn/h pendant la première partie du parcours.
\item À quelle distance de B se trouve-t-il à $13$~h~15 ?
\item À midi un cycliste quitte A et se dirige vers B à la vitesse constante de $30$~km/h.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer son heure d'arrivée en B.
		\item On appelle $d$ la distance (en km) parcourue par le cycliste. On appelle $t$ le temps (en min) compté à partir de midi.
		
Exprimer $d$ en fonction de $t$. 

En déduire que $d =0,5 (x - 195)$ où $x$ est le temps en minutes compté à partir de 8~h~45.
		\item Représenter sur le graphique précédent la fonction $d$ pour les valeurs convenables de $x$.
		\item Déterminer graphiquement, avec le plus de précision, à quelle heure et à quelle distance de A le cycliste dépasse le piéton.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}