\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet}, pdftitle = {Orléans juin 1995}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small L'année 1995} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Orléans} \lfoot{\small juin 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans juin 1995 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE NUMÉRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 2 points} \medskip On considère les nombres : \[A = \dfrac{3,5}{2} + \dfrac17 \qquad B = \dfrac57 : \left(- \dfrac23 \right) \qquad C = \dfrac{3,2 \times 10^5}{2 \times 10^6}\] En écrivant les différentes étapes des calculs : \medskip \begin{enumerate} \item Donner une écriture fractionnaire des nombres $A$ et $B$. \item Donner une écriture décimale du nombre $C$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2 \hfill 2 points} \medskip On donne les nombres $D = 5 - 3\sqrt 2$ et $E = 4 + 5 \sqrt 2$. Calculer $D - E;\quad D \times E$. On donnera les résultats sous la forme $a + \sqrt 2$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs. \medskip \textbf{Exercice 3 \hfill 2 points} \medskip Factoriser l'expression $F = (2 x + 1)^2 - 16$. \medskip \textbf{Exercice 4 \hfill 2 points} \medskip Résoudre l'équation $(3x + 20) (4x - 7) = 0$. \medskip \textbf{Exercice 5 \hfill 2 points} \medskip Résoudre l'inéquation $3 x - 4 \leqslant 5 ( x - 1)$. Représenter en couleur les solutions sur une droite graduée. \medskip \textbf{Exercice 6 \hfill 2 points} \medskip Le tableau suivant représente la répartition des notes obtenues par les élèves d'une classe lors d'un contrôle. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Note $n$&$0 \leqslant n < 5$ &$5 \leqslant n <10$&$10 \leqslant n < 15$&$15 \leqslant n < 20$\\ \hline Effectif&2&8&11&9\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter sur la copie cette répartition par un diagramme en barres. On prendra : • horizontalement : 2 cm pour 5 points; • verticalement : 0,5 cm pour 1 élève. \item Calculer le pourcentage des élèves de la classe qui ont une note supérieure ou égale à 10 arrondir à 0,1\,\% près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip \begin{minipage}{0.48\linewidth} Soit un cercle de centre O et de rayon 3 cm. [AB] est un diamètre et C un point du cercle tel que AC $= 4,6$ cm. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} \begin{center} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-4,-4.3)(4,4) %\psgrid \pscircle(0,0){4} \psline(4,0)(-4,0)(1.79,-3.6) \psline(0,0.1)(0,-0.1) \uput[l](-4,0){A} \uput[r](4,0){B} \uput[dr](1.79,-3.6){C} \uput[u](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item Faire la figure en vraie grandeur. \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C. \item Déterminer, à l'aide d'un calcul, la mesure de l'angle $\widehat{\text{CBA}}$ (arrondir cette mesure à $1\degres$ près). \item Par la symétrie de centre C, le point A a pour image D et le point B a pour image E. Construire D et E. Démontrer que le quadrilatère ABDE est un losange. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité est le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A(3~;~2,5), B$(0~;~- 1)$ et C$(- 1~;~3,5)$. \item Calculer les distances AB et BC. On gardera les valeurs exactes. En déduire une propriété du triangle ABC. \item Placer le point M défini par : $\vect{\text{CM}} = \vect{\text{CA}} + \vect{\text{CB}}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3 \hfill 3 points} \medskip \begin{minipage}{0.58\linewidth}La figure ci-contre représente un parallélépipède ABCDEFGH en perspective. On donne : AE = 5 cm EH = 3,4 cm HG = 3 cm. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.38\linewidth} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(8.5,11.5) \psframe(3.2,0.5)(8,8.5)%HGCD \psline(3.2,0.5)(0.5,3.2)(0.5,11.2)(3.2,8.5)%HEAD \psline(8,8.5)(5.3,11.2)(0.5,11.2)(3.2,0.5)%CBAH \psline[linestyle=dashed](8,0.5)(5.3,3.2)(3.2,0.5)%GFH \psline[linestyle=dashed](0.5,3.2)(5.3,3.2)(5.3,11.2)(0.5,11.2)(5.3,3.2)%EFBAF \uput[ul](0.5,11.2){A} \uput[ur](5.3,11.2){B} \uput[r](8,8.5){C} \uput[ur](3.2,8.5){D} \uput[l](0.5,3.2){E} \uput[r](5.3,3.2){F} \uput[dr](8,0.5){G} \uput[dl](3.2,0.5){H} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le volume de la pyramide AEHF. \item Sans effectuer de calcul, dessiner un patron en grandeur réelle de cette pyramide. On laissera apparents les traits de construction et on marquera les égalités de longueur. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PROBLÈME} \medskip Les parties I et II sont indépendantes. \begin{center}\textbf{Partie I}\end{center} Construire un triangle ABM rectangle en M tel que : MA = 6 cm et MB = 3 cm. Placer le point R du segment [AM] tel que AR = 2 cm. Placer le point S de la demi-droite [MB) d'origine M extérieur au segment [MB] et tel que BS = 1,5 cm. On traitera les questions suivantes en citant les propriétés utilisées. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la longueur BR. \item Démontrer que les droites (AS) et (RB) sont parallèles. \item Calculer la longueur AS. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie II}\end{center} Sur la figure ci-contre, le triangle AMB est rectangle en M. \begin{center} \psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(11.2,8.8) \pspolygon(10.3,7.4)(1.2,7.4)(1.2,0.6)%AMS \psline(7.3,7.4)(1.2,2.9)%RB \uput[r](10.3,7.4){A} \uput[u](7.3,7.4){R} \uput[ul](1.2,7.4){M} \uput[ul](1.2,2.9){B} \uput[d](1.2,0.6){S} \psline{<->}(7.3,7.5)(10.3,7.5)\uput[u](8.8,7.5){$x$} \psline{<->}(1.2,7.9)(10.3,7.9)\uput[u](5.75,7.9){$6$ cm} \end{pspicture} \end{center} L'unité étant le centimètre, on donne : $\bullet~~$MA = 6 ; \quad MB = 3. $\bullet~~$R est le point du segment [AM] tel que AR $= x$ avec $0 < x < 6$. $\bullet~~$S est le point de la demi-droite [MB) extérieur au segment [MB] et tel que BS $= x$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'aire en cm$^2$ du triangle MAS est égale à : $3 x + 9$. Montrer que l'aire en cm$^2$ du triangle MBR est égale à : $- \dfrac32 x + 9$. \item A l'aide des résultats du a., prouver que l'aire en cm$^2$ du quadrilatère ARBS est égale à : $\dfrac92 x$. \end{enumerate} \item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du quadrilatère ARBS est-elle égale à l'aire du triangle MBR ? Calculer alors la valeur commune à ces deux aires. \item Sur une feuille millimétrée, construire un repère orthogonal tel que: $\bullet~~$l'origine est placée en bas à gauche ; $\bullet~~$en abscisse, 3 cm représentent 1 unité ; $\bullet~~$en ordonnée, 1 cm représente 1 unité. \begin{enumerate} \item Tracer dans ce repère les droites : $\bullet~\left(D_1\right)$ d'équation : $y = - \dfrac32 x + 9$ $\bullet~\left(D_2\right)$ d'équation : $y = \dfrac92 x$ \item Retrouver, par lecture sur le graphique précédent, les réponses à la question II-2). Faire apparaître en pointillés les tracés nécessaires à cette lecture. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}