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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Nantes}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Nantes juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées, désignées par les lettres A, B et C, mais une seule est exacte.

Écrire dans la colonne de droite la lettre correspondant à la réponse exacte.

Attention, le barème est le suivant : 0,75 point pour une bonne réponse ; -0,5 point pour une réponse fausse ; 0 point s’il n'y a pas de réponse.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{3cm}|}\hline
	&Réponse A& Réponse B&Réponse C&Réponse choisie Indiquer l'une des lettres A, B ou C\\ \hline
$3 \times \dfrac72 - \dfrac32$&3&9&6&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
$\dfrac{10^{-2} + 10^2}{10^2}$&0,1 &\np{1,0001}&0,01&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
$\sqrt{64} + \sqrt{36}$& 14&50&10&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
$\left(x - \dfrac12 \right)^2$&$x^2 - \dfrac14$&$x^2 + \dfrac14$&$x^2 -x +\dfrac14$&\rule[-3mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le tableau reproduit ci-dessous indique, en 1982, le bilan des accidents corporels de la circulation dans un pays.

%tableau

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessous.

Chaque résultat pour les pourcentages sera arrondi au dixième prés.

Pour les angles, chaque mesure sera arrondie au degré prés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Nombre de tués&Nombre de blessés légers&Nombre de blessés graves&Nombre total d'accidentés
\\ \hline
Effectifs &12 500&321 000&84 500&418000\\ \hline
Pourcentages &&&& 100\,\%\\ \hline
Angles&&&&$360\degres$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Faire un diagramme circulaire représentant ce bilan. 

On choisira 4 cm pour rayon du disque. On n'omettra pas d'indiquer une légende claire.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A.

On note $x$ la longueur, en centimètres, des segments [AB] et [AC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer l'aire, en cm$^2$, du triangle ABC en fonction de $x$.
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire vaut-elle $8$ cm$^2$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur choisie dans le plan est le centimètre.

On considère un triangle ABC tel que : AB $= 7$ ; AC $= 5$ ; BC $= 4$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC en vraie grandeur sur votre copie.
\item Construire le point M image du point C par la translation de
vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Construire le point N tel que $\vect{\text{BN}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur choisie dans le plan est le centimètre. 

Soit un carré ABCD de côté $4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire ce carré sur la feuille.

Construire le point N de la demi-droite [DC) tel que DN = 3DC . 

La droite (AN) coupe le côté [BC] en M.
\item Calculer la valeur exacte de AN. Citer la propriété utilisée.
\item Calculer la valeur exacte de CM. Citer la propriété utilisée.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip



Dans un verre à pied ayant la forme d'un cône, et représenté ci- dessous en coupe, on laisse fondre 5 glaçons sphériques de 2 cm de diamètre.
L’unité étant le centimètre, on donne : GB = 6 OC = 4.

Rappel:Volume d'une boule de rayon $R$ : $\dfrac43 \times \pi \times R^3$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-2.1,-3)(2.1,0.8)
%\psgrid
\psline[linestyle=dashed](-2.1,0)(2.1,0)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,0.8)
\psline(-2.1,0)(0,-1.4)(2.1,0)%ACB
\psline(-1,-0.7)(1,-0.7)%KF
\psline(0,-1.4)(0,-2.4)
\pspolygon*(0,-2.4)(-0.25,-2.6)(0.25,-2.6)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0,0.4)(2.1,0.4)\uput[u](1.05,0.4){6}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-2.2,0)(-2.2,-1.4)\uput[l](-2.2,-0.7){4}
\uput[u](-2.1,0){A} \uput[ul](0,0){O} \uput[ur](2.1,0){B} \uput[dl](-1,-0.7){K}
\uput[dl](0,-0.7){I} \uput[dr](1,-0.7){F} \uput[dl](0,-1.4){C} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur exacte $V$ en cm$^3$, du volume du verre ? 
\item Montrer que le volume total de glace, en cm$^3$, est $20\pi$.
\item Lors de la fusion de la glace, le volume de l'eau produite est
obtenu en multipliant par 0,9 celui de la glace.

Quelle est la valeur exacte $W$ en cm$^3$, du volume de l'eau dans le verre, résultant de la fusion complète des 5 glaçons ?
\item Prouver que $V = 8 W$.
\item En déduire la hauteur CI de l'eau dans le verre à pied après fusion complète de la glace.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le gérant d'une salle de cinéma propose deux options à ses clients : 

\begin{description}
\item[ ] option 1 : Le client paie $45$ F par séance.
\item[ ] option 2 : Le client paie un abonnement annuel de $250$ F puis seulement $20$ F par séance.
\end{description}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'option la plus avantageuse pour un client assistant à 12 séances par an ? Justifier votre réponse.
		\item Quelle est l'option la plus avantageuse pour un client assistant à
5 séances par an ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $x$ le nombre de séances auxquelles assiste un spectateur dans l'année, par $A$ sa dépense annuelle en francs s'il a choisi l'option 1 et par $B$ sa dépense annuelle en francs s'il a choisi l'option 2.

Exprimer $A$ et $B$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Dans un repère orthogonal, on choisit les unités graphiques suivantes:

\begin{description}
\item[ ] sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 1 séance;
\item[ ] sur l'axe des ordonnées : 2 cm pour $50$ F{}.
\end{description}

On utilisera une feuille de papier millimétré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer dans ce repère les droites :

\begin{description}
\item[ ] $D$, d'équation $y = 45x$ ;
\item[ ] $\Delta$, d'équation $y = 20x + 250$.
\end{description}
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection K de ces deux droites.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $45x \leqslant 20x + 250$.
\item Utiliser le résultat précédent pour déterminer l'option la plus avantageuse pour un spectateur, suivant le nombre de séances auxquelles il assiste dans l'année.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Quatrième partie}

\medskip

Le gérant propose une option 3 à ses meilleurs clients : un abonnement forfaitaire de $550$ F{}, chaque séance devenant alors gratuite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Cette option est-elle avantageuse pour $12$ séances ?
\item Déterminer graphiquement le nombre de séances à partir duquel cette option devient la plus avantageuse.
(On laissera apparents les traits de construction.)
\end{enumerate}
\end{document}